一圈能闭合，还要问会放大什么 ​

本单元从变分方程理路ODE变分方程与参数敏感度Variational equation for ODEs · Smooth dependence of ODE solutions · 常微分方程的初值导数在共同存在窗口中证明非线性ODE对初值和参数可微，构造齐次与非齐次变分方程，并给出一阶近似的余项控制与失效边界。与单周期传播理路Floquet理论与单周期传播Floquet theory · Floquet theorem · Floquet multipliers · 弗洛凯理论将周期线性系统拆成周期因子和指数传播，以单周期矩阵判定稳定性，区分冻结谱、平均谱与实际乘子，并检查复对数和单位圆Jordan边界。开始。线性终点检查周期受迫相容性理路周期受迫线性ODE的相容与共振Periodic boundary-value problem for linear ODEs · Periodic forcing compatibility · 周期线性边值问题把周期响应的存在唯一性化为有限维单周期相容条件，保留共振无解与多解，给出残差转真实误差的证书，并区分周期性和吸引性。和全线有界响应理路指数二分性与全线有界响应Exponential dichotomy · Green operator for bounded ODE solutions · 指数二分的Green核用随时间移动的稳定与不稳定投影给双向指数界，构造全实线唯一有界受迫解，并提供残差、积分截断及周期系统的判定接口。；非线性终点用回归映射理路Poincaré回归映射与返回时间导数Poincaré return map · Poincare return map · 庞加莱回归映射以横截条件构造周期轨道附近的局部返回时间，推导返回映射的投影导数，并证明横向乘子与单周期变分矩阵的关系。分离相位，再判断轨道稳定性理路周期轨道的轨道稳定性Orbital stability of periodic orbits · Transverse stability of a limit cycle · 周期轨道横向稳定性用到整条轨道的距离定义稳定性，将横截面严格收缩转成连续时间指数界，并以中性径向例子划清乘子判据的边界。与参数延续理路周期轨道的参数延续与周期敏感度Continuation of periodic orbits · Period sensitivity · 周期轨道的相位约束固定横截相位后，用非相位乘子不等于1证明局部参数延续；由带边框变分系统同时计算基点与周期导数，并解释退化和近退化边界。。下面每个任务都给可独立复算的结果，以及不能从结果继续推出的结论。

任务一：冻结谱、平均谱、单周期谱分别交卷 ​

令

$$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),D=\mathrm{diag}(1,-3),$$$$A(t)=3J+R(3t)DR(3t{)}^{\mathsf{T}}.$$

任务是判定 $x^{\prime }=A(t)x$ 的零解稳定性，同时解释另外两种谱为什么不能代答。

换元 $x=R(3t)y$ 给 $y^{\prime }=Dy$。因此

$$X(t)=R(3t)\mathrm{diag}(e^t,e^{-3t}),U(t,s)=R(3t)\mathrm{diag}(e^{t-s},e^{-3(t-s)})R(3s{)}^{\mathsf{T}}.$$

直接求导可核 $X^{\prime }=AX$、$X(0)=I$，也可核 $U(t,s)U(s,r)=U(t,r)$。

系数 $A$ 的最小周期为 $\pi /3$，而旋转矩阵 $R(3t)$ 的最小周期为 $2\pi /3$。统一选取非最小周期 $T=2\pi$ 时，

$$M=\mathrm{diag}(e^{2\pi },e^{-6\pi }).$$

第一个乘子大于1，真实解 $X(t)e_1$ 的长度恰为 $e^t$，零解不稳定。若改用最小系数周期，则

$$M_0=-\mathrm{diag}(e^{\pi /3},e^{-\pi }),$$

乘子的模给同一结论，负号提醒我们不能沿用另一周期的复对数分支。

每个冻结矩阵却都与 $3J+D$ 相似，特征值为 $-1\pm i\sqrt{5}$。平均矩阵为 $3J-I$，特征值为 $-1\pm 3i$。这两组实部都为负，仍不能覆盖有顺序的真实传播矩阵乘积。

任务二：认证唯一周期响应，再检验共振边界 ​

对同一 $A$ 加 $g(t)=R(3t)(1,1{)}^{\mathsf{T}}$。外力的最小周期为 $2\pi /3$，仍以共同周期 $2\pi$ 求解。旋转坐标方程为 $y^{\prime }=Dy+(1,1{)}^{\mathsf{T}}$，故

$$x_{\ast }(t)=R(3t)(-1,1/3{)}^{\mathsf{T}}.$$

它精确满足方程和周期边界。由于两个乘子均不为1，$(I-M)c=r$ 可逆，这份周期响应唯一；但误差 $\epsilon e^{t}R(3t)e_1$ 向前增长，唯一周期响应不吸引全部邻近初值。

全线证书与积分尾 ​

取稳定投影 $P(t)=R(3t)\mathrm{diag}(0,1)R(3t{)}^{\mathsf{T}}$。其向前衰减率为3，补方向向后衰减率为1，所以统一二分界可取 $K=1,\alpha =1$。Green公式再次给 $y_1=-1,y_2=1/3$，并证明它是全实线唯一有界响应。

只保留距离当前时刻不超过 $L$ 的过去、未来外力，则旋转坐标下

$$y_L=(-(1-e^{-L}),(1-e^{-3L})/3{)}^{\mathsf{T}}.$$

精确尾误差和一般解析界分别为

$$\Vert x_{\ast }-x_L\Vert =\sqrt{e^{-2L}+e^{-6L}/9}\le 2\sqrt{2}{e}^{-L}.$$

若要求该尾误差不超过 ${10}^{-8}$，取 $L=20$ 已由一般界保证。有限区间求积及舍入误差仍须另计。

奇异时不立即判无解 ​

对 $u^{″}+u=\cos t$，以 $2\pi$ 为周期，齐次 $M=I$；零初值特解 $u_p=t\sin t/2$ 在一圈后产生状态增量 $(0,\pi )$。因此 $(I-M)c=(0,\pi )$ 无解。

改成 $u^{″}+u=\cos 2t$ 后，$-\cos 2t/3$ 已是周期特解，全部周期解为它加 $a\cos t+b\sin t$。同一个奇异 $I-M$ 分别出现无解、多解，必须检查左零空间相容条件。

残差也可以交付为误差 ​

为让常数容易核对，另取标量 $x^{\prime }=-x/2+1$、$T=2\pi$，真周期解为2。以下所有残差与无穷范数均只在 $[0,T]$ 上计算。近似 $z(t)=2+\eta \sin t+\nu t/T$ 的边界缺陷为 $\beta =|\nu |$，方程残差满足

$$\delta \le \frac{3}{2}|\eta |+(\frac{1}{T}+\frac{1}{2})|\nu |.$$

有 $K=1,C=(1-e^{-\pi }{)}^{-1}$。所以无须知道真解也能认证

$$\Vert z-x_{\ast }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le C|\nu |+T(1+C)\delta .$$

已知精确解时还可直接检查误差至多 $|\eta |+|\nu |$。证书允许保守，但必须说明常数来自哪里，不能把采样最大值当作全区间上界。

任务三：相位留在门上，周期随参数改变 ​

取

$$z^{\prime }=(1+\lambda -|z{|}^2)z+(2+\lambda )Jz,|\lambda |<\frac{1}{2}.$$

记 $a=1+\lambda ,\omega =2+\lambda$。极坐标给 $r^{\prime }=r(a-r^2),{\theta }^{\prime }=\omega$，正横轴上的周期轨道基点与最小周期为

$$p(\lambda )=(\sqrt{a},0),T(\lambda )=2\pi /\omega .$$

从半径 $r>0$ 返回正横轴一圈，有精确映射

$${\mathcal{P}}_{\lambda }(r)={[\frac{1}{a}+(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{a})e^{-2aT(\lambda )}]}^{-1/2}.$$

在不动点 $r=\sqrt{a}$ 求导，横向乘子为 $e^{-2aT(\lambda )}<1$。$\lambda =0$ 时它为 $\rho =e^{-2\pi }$，相位乘子为1。消去相位后严格收缩，周期圆局部指数稳定。以下取 $\lambda =0$，还可在 $1/2\le r(0)\le 3/2$ 上直接证明

$$|r(t)-1|\le e^{-3t/4}|r(0)-1|,$$

这份实际全时域误差界比只报告一个乘子更完整。

用变分系统复算周期导数 ​

在 $\lambda =0,p_0=(1,0),T_0=\pi$ 处，保持初值、终时固定所算得的参数导数为

$$w=((1-\rho )/2,\pi {)}^{\mathsf{T}}.$$

固定相位 $p_2=0$，解

$$\left(\begin{array}{ccc}\rho -1& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_1^{\prime }\\ p_2^{\prime }\\ T^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-(1-\rho )/2\\ -\pi \\ 0\end{array}\right),$$

得到 $p^{\prime }(0)=(1/2,0)$、$T^{\prime }(0)=-\pi /2$，与直接对半径、周期公式求导一致。左相位特征向量 $q=(0,1/2{)}^{\mathsf{T}}$ 还给 $T^{\prime }=-q^{\mathsf{T}}w$。

不能直接求逆 $M-I$：它必然有相位核。也不能把“横向乘子不为1即可延续”加强成“轨道一定稳定”；若要稳定，仍须检查全部横向乘子的模。

复算与迁移 ​

下载80位复算脚本及作者运行结果。脚本核验传播与投影恒等式、周期与最小周期区别、共振增量、Green截断界、标量残差界、回归导数、相位边框与退化反例。矩阵/函数恒等式还以独立求导和求积交叉检查，而非只重复代入最终常数。

迁移到没有显式解的系统时，保留同一交付结构：共同存在窗口、变分传播、所选周期、相位条件、谱分离或相容性、残差与边界缺陷、明确的误差常数。本文的80位数值测试用于发现实现错误；全部时间或全部参数的断言由正文证明承担。脚本没有自动把浮点积分、数值特征值或有限采样升级为区间认证。

若出现单位圆上的横向乘子，严格收缩判据停止；若它等于1，当前参数延续定理也停止。若未知全线二分界，不能套用Green尾误差。各接口在哪里失效，和成功算出一个数一样重要。