周期受迫线性ODE的相容与共振

一个周期外力可以持续推动系统，却未必产生周期响应。甚至齐次运动每圈恰好回到起点时，外力也可能每圈再累积同一份位移。判断的关键是把一圈的线性传播和这一圈注入的总贡献一起保留。

形式陈述

设 $A(t)\in\mathbb R^{n\times n}$ 、 $g(t)\in\mathbb R^n$ 连续且 $T$ 周期， $T>0$ 。考虑受迫线性系统

x'=A(t)x+g(t),\qquad x(T)=x(0).

用齐次传播矩阵 $U(t,s)$ 定义

M=U(T,0),\qquad r=\int_0^T U(T,s)g(s)ds.

全部 $T$ 周期解恰与线性方程

\boxed{(I-M)c=r} \tag{1}

的解 $c$ 一一对应，具体为

x(t)=U(t,0)c+\int_0^t U(t,s)g(s)ds. \tag{2}

因此：若1不是 $M$ 的特征值，对每个 $g$ 有唯一周期解；若1是特征值，则有解当且仅当

\ell^{\mathsf T}r=0 \quad\text{对所有 }\ell\in\ker((I-M)^{\mathsf T}). \tag{3}

相容时解集为 $c_*+\ker(I-M)$ ，不相容时没有周期解。这里“周期”只要求 $T$ 是一个周期，不声称它最小。

直觉

单周期传播把初值 $c$ 送到 $Mc+r$ 。周期边界就是让这张仿射映射固定 $c$ 。若某个左方向经过一圈完全不变，外力在该方向的总积累必须为零，否则每圈都会继续堆高，不能闭合。

先证明端点闭合等于整条轨道周期

常数变易公式给 $x(T)=Mc+r$ ，所以端点条件等价于式(1)。若端点确实相同，函数 $y(t)=x(t+T)$ 因 $A,g$ 周期而满足同一受迫方程，且 $y(0)=x(0)$ 。初值唯一性给 $x(t+T)=x(t)$ 对全部实数 $t$ 成立。有限端点等式之所以能扩成全线周期，使用了系数周期性和唯一性两项条件。

式(3)是秩–零化度定理导出的左零空间相容条件： $\operatorname{ran}(I-M)$ 恰为 $\ker((I-M)^{\mathsf T})$ 的正交补。包含关系来自 $\ell^{\mathsf T}(I-M)v=0$ ，而秩–零化度与矩阵及其转置同秩给两边相同维数，从而得到相等。它不要求 $M$ 对称，也不要求可以对角化。

用伴随周期解直接检查外力

给定 $M^{\mathsf T}\ell=\ell$ ，置

\psi(t)=U(T,t)^{\mathsf T}\ell.

则 $\psi'=-A(t)^{\mathsf T}\psi$ ，且 $\psi(0)=\psi(T)=\ell$ ，所以它也周期。相容条件变成

\int_0^T\psi(t)^{\mathsf T}g(t)dt=0. \tag{4}

必要性还能逐式看出：若 $x$ 周期，则 $(\psi^{\mathsf T}x)'=\psi^{\mathsf T}g$ ，积分后的端点差为零。反过来，对所有这样的伴随解满足式(4)，就是全部左零空间条件，故已足以解出式(1)。

例子与边界

同一振子，共振外力无解，另一频率有多解

取 $u''+u=\cos t$ ，要求 $2\pi$ 周期。状态 $(u,u')$ 的齐次单周期矩阵是 $I$ 。一个特解为

u_p(t)=\frac t2\sin t.

它的状态在零时为 $(0,0)$ ，在 $2\pi$ 时为 $(0,\pi)$ ，故 $r=(0,\pi)\ne0$ 。式(1)成为 $0=r$ ，无解；添加任意齐次周期解也不能消除这一圈的漂移。

若外力改为 $\cos2t$ ，特解 $-\cos2t/3$ 本来就周期。于是相容条件成立，全部解为

u(t)=-\frac13\cos2t+a\cos t+b\sin t.

同一个奇异矩阵 $I-M=0$ ，因外力改变而分别产生无解和两参数多解。仅报告“矩阵奇异”还没有完成判断。

唯一周期响应也可以不吸引

沿Floquet页的旋转模型，令 $D=\operatorname{diag}(1,-3)$ 、 $A=3J+R(3t)DR(3t)^{\mathsf T}$ ，再取

g(t)=R(3t)\binom11.

系数 $A$ 的最小周期为 $\pi/3$ ，外力的最小周期为 $2\pi/3$ ；本例统一选择共同周期 $T=2\pi$ 。换元 $x=R(3t)y$ 得

y'=Dy+\binom11.

因此

x_*(t)=R(3t)\binom{-1}{1/3} \tag{5}

是周期解。两个齐次乘子 $e^{2\pi},e^{-6\pi}$ 都不等于1，故它是唯一的 $2\pi$ 周期解。

但初值扰动 $\delta e_1$ 给出

x(t)-x_*(t)=\delta e^tR(3t)e_1.

偏差指数增长。唯一性回答“有几条闭合响应”，稳定性回答“附近初值会否靠近它”，两者不能互换。

接近共振时，小输入也可能被大幅放大

对 $x'=-\delta x+1$ ， $\delta\ne0$ ，唯一周期解为常数 $1/\delta$ 。当 $\delta\to0$ ，单周期乘子 $e^{-\delta T}\to1$ ，响应无界；在 $\delta=0$ 时， $x'=1$ 根本没有周期解。每个非零参数处可逆，并没有给一整族参数共同的逆界。

推论与应用

一份残差怎样变成周期解误差

假设1不在 $M$ 的谱中，且已知可靠上界

\|(I-M)^{-1}\|\le C,\qquad \sup_{0\le s\le t\le T}\|U(t,s)\|\le K.

令 $z\in C^1[0,T]$ 为近似，残差与端点缺陷满足

\|z'-Az-g\|_\infty\le\delta,\qquad \|z(T)-z(0)\|\le\beta.

若 $x_*$ 为真周期解，误差 $e=z-x_*$ 满足受迫误差方程。记残差为 $h$ 、端点缺陷为 $b$ ，则

(I-M)e(0)=\int_0^T U(T,s)h(s)ds-b.

先解这个初值误差，再传播，得到

\boxed{\|z-x_*\|_\infty \le KC\beta+KT(1+KC)\delta.} \tag{6}

这同时保留方程残差和周期边界缺陷；只把曲线两端接上，不能保证中间满足方程。 $C,K$ 必须是有证明或可靠包围的上界，普通浮点求逆所得范数不自动是证书。

实际计算可以同步传播 $n\times n$ 的基本矩阵和 $n$ 维零初值受迫解，取得 $M,r$ ，再解一个 $n$ 维线性系统。这个维数说明计算接口，不指定步数或认证积分成本。近共振时应报告相容性与敏感度，而不以强行求逆掩盖问题。

指数二分性从另一方向构造全实线有界解。若系数和外力周期且该有界解唯一，时间平移后的解仍有界，唯一性便再次推出周期性；它不要求所有方向都向前衰减。

参考资料

Gerald Teschl，Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems，作者公开初稿，§3.6，单周期矩阵及周期线性传播。本文将非齐次常数变易与有限维左零空间条件合成式(1)–(4)，并独立推导式(6)，未用自伴边值问题的正交谱结论替代非对称矩阵相容性。

形式陈述 ​

先证明端点闭合等于整条轨道周期 ​

用伴随周期解直接检查外力 ​

同一振子，共振外力无解，另一频率有多解 ​

唯一周期响应也可以不吸引 ​

接近共振时，小输入也可能被大幅放大 ​

一份残差怎样变成周期解误差 ​