偏序、覆盖与关系复形：有限同伦证书 ​

这条路线的终点不是画两张看起来相似的图，而是交付一份别人能逐项复算的证书：原始偏序或关系、实际单形清单、明确的顶点映射、每个纤维的收缩，以及映射之间的整数链同伦。最后再用同调矩阵作独立交叉检查。

先读序复形与逐点同伦理路有限偏序的序复形与同伦证书Order complex and order homotopy · Finite poset homotopy certificate · 序复形把有限偏序的全部比较链变成单纯复形，用逐点保序更新和可删除点日志交付连续同伦与链证书。，再读下理想纤维引理理路Quillen有限偏序纤维引理Quillen poset fiber lemma · McCord–Quillen theorem · Quillen Theorem A for finite posets由每个下理想原像的可缩性认证指定序复形映射是同伦等价，并通过有限映射柱的两份删点序列证明结论。、有限子复形神经定理理路有限子复形覆盖的神经定理Nerve theorem for finite subcomplex covers · Finite simplicial nerve lemma · 有限覆盖神经定理对所有非空交集可缩的有限子复形覆盖，构造保同伦型的神经及具体反序面映射，指出仅检查各块或两两交集为何不够。与关系复形对偶理路Dowker关系复形对偶Dowker relation duality · Dowker complexes · 关系的共同见证复形从有限关系的共同列见证与共同行见证建立两侧复形，给出同伦等价的反序面映射，并证明关系扩张时诱导同调自然相容。。读完可回到路线目录。

任务一：同一张菱形图，三种不同数据 ​

目标偏序为 $Q=\{0,a,b,1\}$，比较关系由 $0<a<1$ 与 $0<b<1$ 生成；源偏序为 $P=\{x_0<x_1\}$。给定

$$f(x_0)=0,f(x_1)=a,g(x_0)=b,g(x_1)=1.$$

交付完整比较矩阵、序复形的全部非空面，以及 $f\le g$ 的逐点同伦日志。第一步必须改 $x_1$，第二步再改 $x_0$；逐步列出源边的所有像顶点，指出它们落入哪个目标三角形。不要直接把四个目标顶点的并当作单形。

把目标标签编码为 $0,a,b,1\leftrightarrow 0,1,2,3$。公开程序以数字升序给链定向，其棱柱链同伦满足

$$T[x_0]=[0,b],T[x_1]=[a,1],T[x_0,x_1]=-[0,a,1]+[0,b,1].$$

请亲自展开最后一式的边界，核实 $\partial T+T\partial =g_{\mathrm{\#}}-f_{\mathrm{\#}}$，包括传递边 $[0,1]$ 的抵消。

另交付删点日志 $a\mapsto 0,b\mapsto 0,1\mapsto 0$。每一步都重新给当前严格下集及其最大元。再把第二步的见证改成已删去的 $a$，程序必须拒绝。两点反链中任一顶点的严格上下集均为空，也不能进入这份删点证书。

验收时明确区分：Hasse图作为图有一个环；序复形有两块实心三角形，所以可缩；面偏序只收非空面，否则误加的空面会制造全局最小元。这三项不能互相替代。

任务二：给出实际纤维，而不是只报“局部简单” ​

令 $P$ 是两点反链、$Q$ 是两点链，映射按标签一一对应。两个精确点原像都是单点。请计算全部下理想原像 $f^{-1}(Q_{\le y})$，说明较大目标点的原像为何不连通，并由此定位纤维引理的失败条件。这里不能先使用错误的结论，再以最终Betti数不合来猜原因。

接着取三角形边界 $K$，以三条闭边及其顶点作为三个子复形。输出全部非空交集：三个单成员交集是线段、三个非空双成员交集是顶点、三成员交集的实现为空。神经恰为三条边组成的圆周。

对每个非空面 $\sigma$，输出全部包含它的覆盖标签 $I_{\sigma }$，把它视为到反序面偏序的保序映射。给每个非空交集选一个锥顶点 $v$，用

$$\mathrm{id}(\sigma )=\sigma \subseteq \sigma \cup \{v\}\supseteq \{v\}$$

交付面偏序的实际收缩。由此建立映射柱，并分别给出逆线性扩张次序的源侧删点日志、正线性扩张次序的目标侧删点日志。每次删目标点时，当前严格下集应恰好是原来已认证的下理想纤维。

最后将覆盖改成路径 $01\cup 12$ 与边 $02$。两块各自可缩，但交集为不连通的两点 $\{0,2\}$；其神经是一条边，不能替代原圆周。再试用两个端点“覆盖”一条实心边，应在检查是否覆盖全部单形时直接失败。

任务三：一张关系表的两侧为何都留下一个环 ​

令 $X=\{0,1,2,3\}$、$Y=\{a,b,c\}$，关系为

$$R_0=\{(0,a),(0,b),(1,b),(1,c),(2,a),(2,c),(3,a),(3,b)\}.$$

输出两侧全部非空面，不能只输出一维骨架。行侧极大面是 $023,013,12$，面数向量为 $(4,6,2)$；列侧极大面是 $ab,bc,ac$，面数向量为 $(3,3)$。这里 $023$ 表示三点组成的实心二单形，不是一条三点路径。

行侧的每个面 $\sigma$ 映到它的全部共同列邻居 $G_{R_0}(\sigma )$。例如 $G_{R_0}(\{0,3\})=\{a,b\}$，而 $G_{R_0}(\{0,1\})=\{b\}$。对每个目标非空面 $\tau$，重新由原关系求

$$W_{\tau }=R_0^{-1}(\tau ).$$

列出相应下理想纤维的每个顶点，并证明它们恰为 $W_{\tau }$ 的非空子集，最大元就是 $W_{\tau }$。例如 $\tau =\{a,b\}$ 的最大源面是 $\{0,3\}$。这份最大元证书才是使用纤维引理的根据。

两侧的 ${\mathbb{F}}_2$ 普通Betti数均为 $(1,1)$。不过验收还要求在两侧面偏序的序复形上构造实际整数链映射，处理重复像顶点为零，并核实与边界交换；再独立算它在同调上的秩，确为各维满秩。只比较两个Betti向量不足以证明指定映射是同伦等价。

请提供两个失败见证：行顶点 $0,1,2$ 两两都有共同列邻居，但没有三者共同的列，所以不构成二单形；向表头添一个全零列后，该列不是列侧复形的顶点。复制已有列则保持行侧全部面完全相同，不能把这项精确相等误说成只保持Betti数。

任务四：沿关系扩张追踪同一个类 ​

依次加入关系项

$$R_1=R_0\cup \{(0,c)\},R_2=R_1\cup \{(3,c)\}.$$

三个阶段的行侧面数向量为

$$(4,6,2),(4,6,3),(4,6,4,1),$$

列侧为 $(3,3),(3,3,1),(3,3,1)$。第一阶段两侧均有一个一维类；第二阶段行侧是三块三角形组成的圆盘，列侧是实心三角形；第三阶段行侧填入整个四面体。后三种可缩描述须从实际面清单和纤维证明取得，不能从零Betti数反推。

每次关系包含 $R\subseteq S$，先在共同目标 $\mathcal{F}(D_Y(S){)}^{\mathrm{op}}$ 中比较两份映射：

$$G_S\circ i_X\le i_Y^{\mathrm{op}}\circ G_R.$$

这是因为普通包含方向为 $R(\sigma )\subseteq S(\sigma )$，进入反序后比较反向。用任务一的更新法交付每一步的同伦，再展开整数棱柱算子。于是两侧包含映射在同调上与Dowker同构相容，比较的是同一条滤过中的类，而不是事后为每个阶段任意挑一个同构。

两次包含在零维的秩均为 $1$，在正维的秩均为 $0$；第一个包含把原一维类填掉。公开结果省略秩向量末尾的零，故输出的 $[1]$ 表示零维秩为一、所有更高维秩为零，并不是没有检查原来的一维类。

复算、拒绝输入与证书范围 ​

下载标准库程序与固定结果。运行时用 --output 指定结果文件；普通模式与Python优化模式的JSON应逐字一致。

固定测试包含40,654项显式检查：全部242个一至四点有标号偏序中的820个合法单步beat删除；全部512张三行三列关系；64张三行两列关系的列复制；三阶段四行三列主例；正确与错误的覆盖、纤维与删点日志。结果记录的是证书检查次数，不是独立定理的数量。

程序的覆盖入口目前认证交集为锥的情形，给出具体点态收缩。这是一般“非空交集可缩”条件的一类充分证书，不是决定任意有限复形是否可缩的算法。整数链恒等式与 ${\mathbb{F}}_2$ 消元也分开报告：后者不能认证整数同调没有挠元。枚举全部面和全部链可能指数增长，本例的小规模穷举不构成一般多项式时间承诺。