有限偏序的序复形与同伦证书

一张偏序图不仅记录哪些点连着，还记录哪些操作可以连成更长的比较链。把一条三点链只画成两条边，会漏掉它应填充的三角形。本页先把这份高维数据恢复，再说明怎样只凭有限的次序检查，证明两个映射同伦，或证明删除一个点没有丢掉空间的同伦信息。

形式陈述

序复形与诱导映射

设 $P$ 是有限偏序集。其序复形 $\Delta P$ 以 $P$ 为顶点，非空单形恰为严格链

x_0<x_1<\cdots<x_r. \tag{1}

另加入空面，遵守单纯复形的向下封闭约定。维数是最长严格链长度减一。 $P=\varnothing$ 时几何实现为空；“可缩”在本单元始终要求非空且同伦等价于一点。

保序映射 $f:P\to Q$ 将链送到一条弱递增序列。删去重复值后仍为链，因此诱导单纯映射 $\Delta f:\Delta P\to\Delta Q$ 。在几何实现上按重心坐标线性延拓；若几个源顶点有同像，它们的权重相加。

若两个保序映射满足点态比较

f(x)\le g(x)\qquad(x\in P), \tag{2}

则 $|\Delta f|$ 与 $|\Delta g|$ 同伦。更具体地，可以用至多 $|P|$ 次单顶点更新，把 $f$ 改为 $g$ ；相邻两份映射在每个源单形上的像顶点合并后仍为一条链，故每步都给合法的直线同伦。

一类可直接删除的点

设 $x\in P$ 。若严格下集 $P_{<x}$ 有最大元 $m$ ，将 $x$ 送到 $m$ 、其余点固定，得到保序收缩

r:P\longrightarrow P\setminus\{x\}. \tag{3}

它满足 $ir\le\mathrm{id}_P$ ，其中 $i$ 是包含。若严格上集 $P_{>x}$ 有最小元，方向相反，得到 $ir\ge\mathrm{id}_P$ 。这种点常称 beat point。式 (2) 的构造全过程固定未删顶点，因而在几何实现上给出强形变收缩。

空的严格上集或下集没有最小元或最大元，不能据“所有比较都成立”把孤立点删除。删点后的下一步必须在当前剩余偏序中重新检查。

直觉

Hasse图不是序复形的一维代替品

取菱形偏序

0<a<1,\qquad0<b<1,\qquad a,b\text{不可比}.

Hasse 图有四条边，画成一个环。但传递性还给 $0<1$ ，而两条三点链给三角形 $[0,a,1]$ 和 $[0,b,1]$ 。序复形是沿 $[0,1]$ 粘起来的两个实心三角形，可缩；Hasse 图作为普通图却有一个一维洞。

因此输入可以用覆盖关系简写，构造复形前却必须先求完整偏序比较，再枚举所有链。漏掉传递边或高维链，会改变对象本身，而不只是降低绘图分辨率。

点态比较不一定允许一次直线插值

设源为两点链 $x_0<x_1$ ，目标为上述菱形。取

f=(0,a),\qquad g=(b,1).

分别有 $0\le b$ 、 $a\le1$ ，故 $f\le g$ 。但四个像顶点 $\{0,a,b,1\}$ 不是链；不能直接声称整个源边的两幅像都装在一个目标单形里。

正确做法先改较大的源点：

(0,a)\longrightarrow(0,1)\longrightarrow(b,1). \tag{4}

第一步的全部像在三角形 $[0,a,1]$ 内，第二步在 $[0,b,1]$ 内。每一步都可线性插值，连接两段便得到整体同伦。抽象复形的标准实现位于顶点坐标空间中，不能仅凭平面示意图上的直线看起来留在区域里，就跳过这个单形检查。

例子与边界

逐点更新为什么一定保序

从当前 $h\le g$ 开始，若尚不相同，在差异集合 $D=\{x:h(x)\ne g(x)\}$ 中选一个极大点 $x$ ，仅把 $h(x)$ 改成 $g(x)$ 。

若 $u<x$ ，则 $h(u)\le h(x)\le g(x)$ ，下方比较保持
若 $x<v$ ，由 $x$ 在差异集合中极大，已有 $h(v)=g(v)$ ；所以 $g(x)\le g(v)=h(v)$ ，上方比较保持
其余比较没有改动

对于一条经过 $x$ 的源链，旧值 $h(x)$ 与新值 $g(x)$ 可比，且所有下方像不大于旧值，所有上方像不小于新值。因此相邻两份映射确实相邻，直线同伦合法。不经过 $x$ 的单形没有变化。每步少一个差异点，所以最多 $|P|$ 步终止；不需要逐一经过目标中的每个覆盖关系。

一份删点日志

在菱形偏序里， $P_{<a}=\{0\}$ 有最大元 $0$ ，可以先删 $a\mapsto0$ 。剩余为链 $0<b<1$ ，再删 $b\mapsto0$ ，最后删 $1\mapsto0$ ，保留一点。

每一步都记录：当前顶点集、被删点、方向、见证顶点和全部必要比较。若第二步仍拿已经被删的 $a$ 当见证，日志应立即失败。若把两点反链中的一个点删掉，严格上下集都空，也必须失败；两个不连通点不能形变成一个点。

beat 点准则是一种充分证书，不是一般可缩性的完整判定。一个偏序没有这种可删点，不表示其序复形一定不可缩；后面的纤维引理只要求相关序复形可缩，可以使用更一般的证明。

面偏序连接原复形

给有限单纯复形 $K$ ，其面偏序 $\mathcal F(K)$ 只取非空面，以包含为序。于是 $\Delta\mathcal F(K)$ 的顶点是原面的标签，单形是严格嵌套的面链，恰为重心细分 $\operatorname{sd}K$ 。

这个识别将面标签送到原面的重心，给自然同胚 $|\Delta\mathcal F(K)|\cong|K|$ 。若误把空面也作为偏序顶点，它会成为全局最小元，使序复形总是一个锥。例如圆周的面偏序会因此被错误地变成可缩空间。

推论与应用

直接检查链同伦

对相邻的两份顶点映射 $h_0,h_1$ ，棱柱公式为

T[v_0,\ldots,v_r] =\sum_{j=0}^r(-1)^j [h_0(v_0),\ldots,h_0(v_j),h_1(v_j),\ldots,h_1(v_r)]. \tag{5}

重复顶点的项取零；其余按所选目标顶点次序重排并保留符号。相邻性保证每项都是合法目标单形。展开边界，内部接缝两两抵消，留下

\partial T+T\partial=(h_1)_\#-(h_0)_\#. \tag{6}

这正是链同伦证书。把式 (4) 两步的棱柱算子相加，中间链映射抵消，便得到 $g_\#-f_\#$ 。所以程序可以同时交付连续同伦的有限步骤与整数链层恒等式，而不是只比较最终同调维数。

输出与成本

若 $P,Q$ 以完整比较矩阵输入，一次更新的保序性可在全部源可比较对上检查。最多 $|P|$ 次更新给直接的多项式规模顶点日志。但若进一步显式输出整个序复形及所有链矩阵，单形数量可能指数增长： $n$ 点全序的每个非空子集都是链，共 $2^n-1$ 个单形。应分别报告顶点日志成本与展开后的链证书成本。

这个方法适合把两种离散选择证明为同一个拓扑操作，也适合为后续覆盖映射提供同伦交换方块。方向可以反转，有限串 $f_0\le f_1\ge f_2\le\cdots$ 同样给端点同伦；没有逐点比较或相邻性证据的两个映射则不能自动进入这条链。

偏序、覆盖与关系复形证书任务：终点先要求逐项展开菱形的整数链同伦，再用当前偏序逐步验收删点日志。

参考资料

Jonathan Ariel Barmak，On Quillen's Theorem A for posets，2010预印本，§2 Proposition 2.2，p.3：点态有序映射诱导同伦；§4面偏序与细分。本文给出直接跳到目标值的有限更新日志，并独立展开整数链证书。
Jonathan A. Barmak、Elías G. Minian，Strong homotopy types, nerves and collapses，2009预印本：有限偏序、删点与强同伦的背景。本文只使用已直接证明的最大下邻点/最小上邻点收缩，不声称一般无可删点即不可缩。

形式陈述 ​

序复形与诱导映射 ​

一类可直接删除的点 ​

Hasse图不是序复形的一维代替品 ​

点态比较不一定允许一次直线插值 ​

逐点更新为什么一定保序 ​

一份删点日志 ​

面偏序连接原复形 ​

直接检查链同伦 ​

输出与成本 ​

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