单纯逼近定理

开星记录一个点的重心表达式中，哪些顶点真正带正系数。若 $x$ 同时处在几个源顶点的开星里，星条件迫使 $f(x)$ 同时处在对应目标顶点的开星里。这些目标顶点因此必须能共同装进一个单形，彼此不会要求冲突的延拓。

仅把源顶点映到“看起来最近”的目标顶点，没有这种保证。真正要控制的是顶点周围整片邻域的像。细分使邻域缩小，连续性才有机会把它装进某个目标开星。

星条件为何足够 ​

每个 $x\in |K|$ 属于唯一一个单形的相对内部，记这个最小单形为 $\sigma =[v_0,\dots ,v_q]$。于是所有 ${\lambda }_{v_i}(x)>0$。由式(1)，目标点 $f(x)$ 的最小单形含有全部 $g(v_i)$：一个点位于顶点 $w$ 的开星，正表示它的最小单形含有 $w$。

对 $\sigma$ 取一个内部点，就证明这些像顶点确实组成目标单形的面。因此 $g$ 可以在线性坐标中延拓。再对任意 $x$ 使用上面的最小单形，$f(x)$ 与 $|g|(x)$ 落在同一个目标单形中，故

始终留在 $|L|$。将 $|L|$ 放在其有限顶点张成的欧氏空间里，式(2)本身就是连续公式；不同单形上的表达在交界处相同。这给出真正的联合连续同伦，不只是每一点各选一条路径。

重心细分怎样给出越来越小的网格 ​

在每个非空面 $\sigma$ 的重心 $b_{\sigma }$ 放一个新顶点。新单形由严格嵌套的面链

的重心组成。同一原单形中的这些小单形完整拼回它，公共面上的构造一致；因而细分没有改变几何空间。

令 $m=\dim K\ge 1$，$\mathrm{mesh}K$ 是最大单形直径。若非空面 $\tau ⊊\sigma$ 分别有 $a,b$ 个顶点，则

新单形的任意两顶点来自可比较的面；凸包直径不超过顶点间最大距离，所以

任何闭星中的两点都能经中心顶点连接，距离至多两倍网格大小。零维复形已是有限离散点，不需用式(3)；空源的结论则自动成立。

紧性给出统一的细分次数 ​

目标顶点的开星覆盖 $|L|$，所以它们在 $f$ 下的逆像构成 $|K|$ 的开覆盖。有限复形的实现是紧度量空间理路紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。，这份覆盖有一个数 $\delta >0$，使直径小于 $\delta$ 的每个子集都包含在某个覆盖成员中。

这个 Lebesgue 数结论可以直接证明。对每个点 $x$，选半径 $2r_x$ 的相对开球落在某个覆盖成员里，再以半径 $r_x$ 的球取有限子覆盖。令 $\delta$ 为这些有限半径的最小值。直径小于 $\delta$ 的非空集合先取一点，它落入某个半径 $r_x$ 的球；集合其余点到该中心距离小于 $r_x+\delta \le 2r_x$，因此整份集合留在同一成员里。

用式(3)取 $r$ 使细分网格小于 $\delta /2$。每个闭星的直径便小于 $\delta$，可选目标顶点 $g(v)$ 满足

它比开星条件更强，因此前面的延拓与同伦证明全部适用。这里得到的是依赖整份映射的统一 $r$，不是对每个点分别选一个彼此不兼容的细分。

图中蓝边是非坍缩的奇编号边，灰边的两个顶点具有同像；内圈标签逐项给出映射表。

一份十二项顶点表实现度二 ​

把圆周写成 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，目标用三个顶点 $w_0,w_1,w_2$、三条循环边作三角剖分，各顶点位于参数 $0,1/3,2/3$。沿每条边按参数线性行走。源从同一三边圆周作两次重心细分，得到 $v_i$，参数为 $i/12$，$0\le i<12$。

令 $f(t)=2t(\mathrm{mod}1)$。取顶点像

逐个检验开星并不难。$v_{2j}$ 的开星参数为 $((2j-1)/12,(2j+1)/12)$，其像落在以 $j/3$ 为中心、半宽 $1/6$ 的弧内；它包含在 $w_{jmod3}$ 的开星中。$v_{2j+1}$ 的像开弧为 $(j/3,(j+1)/3)$，同样处在该目标顶点的开星中。所有区间均按模一理解。

闭星版本在奇数顶点处未必成立，因为右端会碰到另一个目标顶点；这不影响式(1)，其要求本来就是开星包含。

令源循环为 $z=\sum _{i=0}^{11}[v_i,v_{i+1}]$，下标模十二，边按绕行方向定向。单纯链映射理路单纯同调Simplicial homology以定向单形生成链群、以交替面和定义边界，并用循环模边界得到的同调理论。把两端同像的边送到零，所以偶数编号边都坍缩。其余六条边的像依次为

故 $g_{\mathrm{\#}}z=2z_L$，在 $H_1(S^1;\mathbb{Z})$ 上确实是乘二。度数来自完整链的有向计数，而不是顶点表中某个数字出现两次。

若不细分源，三条源边每条最多贡献一条目标边或零，诱导圆周度数的绝对值至多一，无法代表度二。这说明细分承担了实际的表达能力。

逼近不保留逐点不动性 ​

圆周上的小角度非零旋转没有不动点，却与恒等映射同伦。因此式(2)不意味着 $f$ 与 $g$ 有同样的不动点。若要从“无不动点”得到仍能避开原位置的链模型，还须控制误差小于最小位移；Lefschetz证明理路Lefschetz 不动点定理Lefschetz fixed point theorem · Lefschetz数 · Hopf交替迹公式由有限同调作用的交替迹认证不动点，完整证明链迹抵消及两级细分的零对角机制，并区分存在性与点数。会单独完成这一步。

胞腔逼近理路胞腔逼近定理Cellular approximation theorem · 胞腔映射在保持指定子复形不动的条件下，把连续映射同伦为保持骨架的映射，并说明高维胞腔如何逐个被避开。只要求保持各维骨架。使用一零胞腔、一一胞腔的圆周模型时，任意整数次绕行都已是胞腔映射；单纯映射则每条边只线性映到一条边或一点。两种定理的有限表示要求不同。

两份顶点选择之间有明确的链同伦 ​

若 $g,h:K\to L$ 都对同一个 $f$ 满足星条件，对任一源单形取内部点，$f$ 的像之最小单形同时包含全部 $g(v_i)$ 与 $h(v_i)$。这种关系称为两映射相邻。于是可以写出棱柱算子

有重复顶点的项取零，其余按定向重排。各项都在刚才的公共目标单形内，因此式(5)确实是一条合法的 $(q+1)$-链。

对每项展开交替边界，删去前半部非接缝顶点的项与 $P\partial$ 抵消，删去后半部非接缝顶点的项也如此；相邻两个接缝面的系数相反。仅留下全 $h$ 的顶面与全 $g$ 的底面，得到

这就是链同伦理路链同伦Chain homotopy用升高一次数的态射族见证两个链映射之差沿边界方向可消去的关系。证书，所以不同选择诱导同一同调映射。次数零时公式退化为 $\partial [g(v),h(v)]=[h(v)]-[g(v)]$，可以直接核对符号。

存在性怎样变成可检查的数据 ​

一份有限证书至少列出源的细分、目标顶点表、每个源单形的像及星条件理由。单纯性只需检查极大单形：若其像顶点集合属于目标复形，所有面的条件随之成立。随后按坍缩为零和定向符号生成链矩阵，并检查 $\partial g_{\mathrm{\#}}=g_{\mathrm{\#}}\partial$。

星条件不是只在顶点处抽样。若 $f$ 已给为有理分片线性映射，并有兼容分片，闭星上的目标坐标 ${\lambda }_{g(v)}\circ f$ 可以逐片取最小值；每片都是仿射函数，检查顶点严格为正便给出闭星包含。这是一种足够强的有限认证方式，不能用它否定式(4)那种仅满足开星条件的合法逼近。

对任意连续黑箱，仅知道“连续”不自动给出有效的 Lebesgue 数或可判定的星包含，因而定理本身不是统一的有限采样算法。重心细分还可能产生大量单形：一个 $q$-单形一次细分有 $(q+1)!$ 个顶维小单形。输出顶点表之后的线性代数可以有限复算，不表示寻找整个细分证书必然廉价。