胞腔逼近定理

一维骨架只允许走线，二维骨架才允许穿过面。胞腔逼近把任意连续映射整理成尊重这个维数顺序的形式，而不改变同伦信息。这使小型胞腔链模型能够处理原本任意的连续映射。

不能直接说“低维空间的连续像不会覆盖高维区域”。填充曲线表明连续映射可以升高图像维数。证明需要先在目标胞腔内部把映射轻微整理成分片线性，找出它真正漏掉的一点，再从该点向胞腔边界径向推出。

避开一枚高维胞腔的关键步骤 ​

先考虑从 $D^n$ 映到有限子复形的映射，其边界已经落在 $(n-1)$ 骨架。选图像碰到的最高维开胞腔 $e^k$，其中 $k>n$，并用坐标把其内部识别为 ${\mathbb{R}}^k$。

在胞腔内取同心闭球 $B_1\subset \mathrm{int}{B}_2$，半径分别为 $1,2$。$f^{-1}(B_1)$ 为紧集且包含在 $f^{-1}(\mathrm{int}{B}_2)$ 内。把源圆盘作足够细的有限三角剖分，取邻近这两个集合的多面体区域 $K_1\subset \mathrm{int}{K}_2$，满足

细分再足够细，使每个单形上 $f$ 的振幅小于 $1/4$。

在 $K_2$ 每个顶点保留 $f$ 的值，按单形作仿射插值得到 $g$。凸性给 $|f-g|<1/4$。选连续分片线性截断函数 $\lambda$，在 $K_1$ 为一，在 $\partial K_2$ 为零；同伦

在 $K_2$ 内进行，在外面固定。它始终在同一个开胞腔坐标中，边界上相容，因此连续。对 $K_1$ 外的点，原像不在 $B_1$，故 $|f_t|>3/4$；于是足够靠近原点的目标小球只能被 $K_1$ 的像碰到。

$f_1{|}_{K_1}$ 的像包含在有限个至多 $n$ 维仿射单形中。因 $k>n$，这些单形不可能覆盖一个 $k$ 维开球，所以可选小球内一点 $p$ 不在整个 $f_1(D^n)$ 中。将 $e^k\setminus \{p\}$ 沿径向推到边界，保持其余胞腔不动，就把这枚高维胞腔完全从图像中去掉。

从局部修改拼成全局同伦 ​

假设已经使 $f$ 在 $X^{n-1}$ 上胞腔。每个 $n$ 胞腔的闭包是紧集，其像只遇到有限多个目标胞腔。这里使用 CW 的紧集有限胞腔性质，见来源 Proposition A.1；它依靠弱拓扑，不能由“闭包有限”一句代替。

对每个尚未处理的 $n$ 胞腔，重复上一过程，从最高维起删去所有维数大于 $n$ 的目标胞腔。先把初始图像所遇胞腔及它们的闭包纳入一个固定有限目标子复形。每次按最高维选尚未排除的高维胞腔，径向推出只会进入它的低维边界，不会重新进入已排除的胞腔；因此这个有限待处理列表逐项减少，过程结束。源胞腔边界和 $A$ 上数据保持不动，故可以在全部 $n$ 胞腔上同时拼接，再由同伦延拓性质理路同伦延拓性质Homotopy extension property · HEP · Cofibration of a subspace · 余纤维化包含把子空间上指定的连续变形延拓到全空间，并用圆盘柱的显式收缩证明CW对子空间包含具有该性质。把这段骨架同伦延拓到整个 $X$。

有限维源经过有限轮即可完成。一般 CW 源把第 $n$ 轮安排在长度逐渐减半的时间区间；每个固定胞腔在自身维数那轮以后不再变化，故在每个闭胞腔乘区间上存在连续终值。弱拓扑及与区间取积的相容性保证全局连续。这样得到整个相对版本，而不只是逐点极限。

给 $S^m,S^n$ 各取一个零胞腔和一个顶维胞腔，以零胞腔为基点。若 $1\le m<n$，任何基点映射 $S^m\to S^n$ 可相对基点胞腔逼近，其像必须落在 $(S^n{)}^m=\{\ast \}$，因此零同伦，得到 ${\pi }_m(S^n)=0$。这条结论来自变形后的映射，不是断言原映射的像必漏点。

对 $S^1\to S^1$，逼近不能把所有映射变成常值。$z\mapsto z^2$ 已经是胞腔映射，仍保留度二；胞腔逼近降低的是不合骨架的复杂性，不会抹掉同伦不变量。

对二维 CW 复形 $X$，任何从圆周来的映射可推到 $X^1$；两条回路之间的同伦以圆柱为源，可推到 $X^2$。因此基本群由一骨架的回路与二胞腔的关系控制，高于二维的胞腔不会改变基本群。这解释了曲面边界词计算的维数边界。

指定不动的集合必须是适当的子复形。任意闭子集也可能没有同伦延拓性质，不能直接沿用本证明。胞腔逼近也不等于单纯逼近：单纯映射需满足顶点与单形的更严格条件，通常必须细分源。

连续映射先作胞腔逼近后，会诱导骨架对之间的映射，进而得到胞腔链映射理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。。所得同调同态与原连续映射一致，因为两者同伦。这是用有限整数矩阵计算连续映射作用的理论保证。

两个不同胞腔逼近可能给不同链矩阵；它们在同调上的作用仍相同。因此应核验链映射与边界交换，再取核模像，不能把某个选定胞腔矩阵当成原映射独有的坐标无关数据。