同伦延拓性质

把时间当成竖直方向。整个空间在时间零的映射已经知道，子空间在全部时间的轨迹也已经指定。HEP 问剩余那片“空间乘时间”能否填满，且在接缝处连续。

如果能先把空间乘时间压到“底面加侧壁”，问题就解决了：在底面用原映射，在侧壁用指定同伦，再与收缩复合。圆盘的边界恰好是侧壁，因此这项性质特别适合逐胞腔构造。

收缩判据的两个方向 ​

若有 $R$，把 $f$ 和 $h$ 拼成右侧子空间上的映射 $F$。由于 $A$ 闭，底面与侧壁构成有限闭覆盖，且两公式在交集相同，粘贴引理给 $F$ 连续；于是 $H=F\circ R$ 是所求延拓。

反过来，以 $Y=X\times \{0\}\cup A\times I$ 为目标，取 $f(x)=(x,0)$、$h(a,t)=(a,t)$。HEP 给出的 $H$ 正是所需收缩。这个方向不依靠图形猜测，而是把“对所有目标都可延拓”应用到一个精心选择的目标。

圆盘柱的显式构造 ​

在 $D^n\times I$ 中，令 $x\in D^n$、$t\in [0,1]$，从外部点 $(0,2)$ 沿射线经过 $(x,t)$，一直到首次碰到柱的底面或侧壁。具体令

当 $x=0$ 时将第二个候选值理解为 $+\mathrm{\infty }$。第一个候选值始终介于 $1$ 与 $2$，所以该约定在原点附近连续。若取第一个值，时间坐标为零；若取第二个值，空间坐标在球面上。底面 $t=0$ 或侧壁 $\Vert x\Vert =1$ 上都有 $\lambda =1$，故它确为收缩。

对 $n=0$，$D^0$ 为一点、边界为空，直接把区间压到底点即可。不需要用不存在的 $S^{-1}$ 处理这一层。

现在假设已在 $A\cup X^{n-1}$ 上延拓同伦。每个 $n$ 胞腔的特征圆盘上，底面数据来自 $f$，侧壁数据来自已完成的低维同伦。与上述 $R$ 复合就填入整个圆盘柱；边界数据一致，因此能由商拓扑的泛性质理路商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。通过附着商下降。逐维完成后，CW 的弱拓扑保证拼合连续；与局部紧区间取积的拓扑相容性保证这是联合连续的同伦。因而 CW 对有 HEP，且已指定的 $A$ 上数据始终不变。

圆盘对 $(D^2,S^1)$ 有 HEP，但恒等映射 $S^1\to S^1$ 不能延拓到 $D^2$：若能延拓，其边界映射会零同伦，然而它的度理路球面映射度Degree of a sphere map · 球面映射的度 · Brouwer degree on spheres用顶维同调定义球面自映射的整数度，证明复合、反射与非满射性质，并以角度提升复算圆周幂映射。为一。HEP 的输入还要求已经有一张全空间初始映射 $f$，所以两件事没有矛盾。

一个确实失败的闭子空间例子是

若有上述收缩 $R$，每条竖线 $\{1/n\}\times I$ 的连续像必须留在右侧空间中孤立点 $(1/n,0)$ 所在的连通分支，即该单点。因此 $R(1/n,1)=(1/n,0)\to (0,0)$。但收缩要求 $R(0,1)=(0,1)$，违反连续性。所以“闭子空间”本身不足以保证 HEP。

胞腔逼近理路胞腔逼近定理Cellular approximation theorem · 胞腔映射在保持指定子复形不动的条件下，把连续映射同伦为保持骨架的映射，并说明高维胞腔如何逐个被避开。先在低维骨架上修改映射，再使用 HEP 把这段修改延拓到整个源空间；否则逐层修正未必能拼成一张全局同伦。HEP 控制的是能否保留已完成的部分，不能把它省成“各胞腔分别可变形”。

映射柱理路拓扑映射柱Topological mapping cylinder · Mapping cylinder · 映射柱把任意连续映射替换为一个嵌入与一个同伦等价的复合，显式核验柱上的形变收缩及它不等于映射锥。的柱底有乘积领圈，因而其包含具有 HEP。若是 CW 子复形包含 $A\subseteq X$，把一个非空可缩 $A$ 压成一点给出同伦等价 $X\to X/A$；证明须把 $A$ 的收缩延拓到 $X$，不是对任意可缩子集都能作此推断。