拓扑映射柱

给源空间的每点留一段运动轨迹，把轨迹末端接在它的像上。即使 $f$ 把很多点送到同一点，各点在柱底仍可区分；只有滑到顶端时才按 $f$ 合并。这样既保留源空间的位置，又把整个柱的同伦型控制为目标空间。

直接把 $f(X)$ 当成 $X$ 的副本会丢失纤维信息。映射柱保留完整的源，因而可以把研究任意映射的问题转成研究空间对 $(M_f,X)$。后续映射锥理路拓扑映射锥与同调正合列Topological mapping cone · Homotopy cofiber · 拓扑余纤维把映射柱的源端压成一点，得到记录原映射同调核与余核的空间，并从良好空间对推导长正合列。才进一步把柱底整份 $X$ 压成一点。

连续性与嵌入的核验 ​

$r$ 在不交并上由连续公式给出，并在每对被识别点上相同，所以商的泛性质保证它连续。$j$ 的逆映射是 $r$ 在 $j(Y)$ 上的限制，因此 $j$ 是嵌入。

下端附近有未被识别的开带 $X\times [0,1/2)$，它在不交并中开且饱和，商映射在这条带上是同胚。因此 $i$ 也是嵌入，不需要假定 $f$ 单射。

显式形变收缩为

它在粘接端相容，$H(-,0)=1$、$H(-,1)=jr$，且每时刻固定 $j(Y)$。联合连续性可由商泛性质核验：商映射与紧区间取积仍是商映射，这使用区间的局部紧 Hausdorff 性。只检查每个固定 $s$ 下连续，并不足以证明它是同伦。

若 $f=1_X$，则 $M_f\cong X\times I$，收缩是把整个柱向顶端推。若 $f:X\to \{\ast \}$ 常值且目标只有一点，则 $M_f$ 就是未约化锥 $CX$，因此可缩；当 $X=S^1$ 时它是闭圆盘。

若 $f:S^1\to S^1$ 为 $z\mapsto z^2$，$M_f$ 仍同伦等价于目标圆周，故一阶同调为 $\mathbb{Z}$。源圆周作为柱底嵌入，但其包含在一阶同调上对应乘二，因为 $r_{\ast }{i}_{\ast }=f_{\ast }$ 且 $r_{\ast }$ 为同构。这份源圆并不是柱的强形变收缩子空间：若存在收缩，$i_{\ast }$ 应有左逆，而乘二在整数群上没有左逆。

将同一个柱的下端压成一点得到映射锥，它的同调会变成 $H_1\cong \mathbb{Z}/2$、$H_2=0$。映射柱和映射锥是不同构造；前者始终保留 $Y$ 的同伦型，后者记录 $f$ 造成的同调变化。

对于不良点集空间，关于同伦的商与积仍须检查拓扑条件。上面的显式公式用区间局部紧性解决联合连续性；在任意因子替换区间时，不能无条件说商映射取积后仍为商映射。

柱底还有一个几何优势：它带有真正的乘积邻域。把柱底上的同伦沿这条带展开，再向整个柱延拓，可证明包含 $X\hookrightarrow M_f$ 有同伦延拓性质理路同伦延拓性质Homotopy extension property · HEP · Cofibration of a subspace · 余纤维化包含把子空间上指定的连续变形延拓到全空间，并用圆盘柱的显式收缩证明CW对子空间包含具有该性质。。于是映射柱把一般映射变成行为良好的包含，而不是仅仅把一个集合画大。

给定空间映射后，可用 $(M_f,X)$ 的长正合列表达它在同调上的核与余核；再把 $X$ 压成一点便接到映射锥的长正合列。这是“先替换成良好空间对，再取商”的用途，直接取集合差 $Y\setminus f(X)$ 不具有这种意义。