Künneth同调公式 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $C,D$ 为非负自由整数链复形， $H_n$ 表示循环模边界的链复形同调。对每个 $n\ge0$ ，有自然短正合列

0\to\bigoplus_{p+q=n}H_p(C)\otimes H_q(D) \xrightarrow{\times}H_n(C\otimes D) \to\bigoplus_{p+q=n-1}\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H_p(C),H_q(D))\to0.

左箭头由循环张量给出。右端使用整数一次 Tor，其总次数是 $n-1$ ，因为 Tor 贡献比两个输入同调次数之和高一。对 Abel 群 $H,A$ ，选自由分解 $0\to B\xrightarrow{i}Z\to H\to0$ ，便可直接计算 $\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H,A)=\ker(i\otimes1:B\otimes A\to Z\otimes A)$ ，不需先使用一般导出函子。该列分裂，但分裂一般不自然；自然的是交叉积嵌入、商映射和整条正合列。

对有限 CW 复形 $X,Y$ ，乘积胞腔链通过胞腔同调比较把中间项识别为 $H_n(X\times Y;\mathbb Z)$ ，就得到空间版公式。域 $k$ 上所有正次数 Tor 消失，因而

H_n(X\times Y;k)\cong\bigoplus_{p+q=n}H_p(X;k)\otimes_k H_q(Y;k)

是由交叉积给出的自然同构。有限 CW 是本页拓扑构造采用的范围；一般空间的版本需要进一步的链比较，本页不从有限胞腔论证直接外推。

直觉

张量项来自两个已存在循环的乘积。Tor 项来自两边的填充关系恰好配合：各自不是循环的高维链，在乘积中可能相互抵消边界，形成新循环。二者来源不同，即使最后都表现为有限循环群，也不应混为一项。

例如 $\mathbb{RP}^2$ 的二胞腔边界是两倍一胞腔。在两个因子的乘积中， $e\otimes a$ 与 $a\otimes e$ 的边界异号，相加后成为三维循环。Künneth 的 Tor 就是在统一记录这种关系。

自由链复形上的证明

沿用同调 UCT 的循环—边界分解。令 $Z_p=\ker\partial_C$ 、 $B_p=\operatorname{im}\partial_C$ ，两者视为零微分复形。逐次数有分裂列

0\to Z_p\to C_p\to B_{p-1}\to0.

张量 $D$ 并按总次数直和后仍逐次正合，给出短正合链列。 $Z_p,B_p$ 均自由，所以

H_n(Z\otimes D)=\bigoplus_p Z_p\otimes H_{n-p}(D),

商复形的同调则为 $\bigoplus_p B_p\otimes H_{n-p-1}(D)$ 。

长正合列中的连接同态是包含 $i_p:B_p\hookrightarrow Z_p$ 与恒等的张量。可直接核：对 $b\otimes[d]$ 选择 $c$ 满足 $\partial_Cc=b$ ，并选循环代表 $d$ ，则 $\partial(c\otimes d)=b\otimes d$ 。因此取长正合列的核与余核，得到

\operatorname{coker}\bigoplus_p(i_p\otimes1) =\bigoplus_pH_p(C)\otimes H_{n-p}(D),

以及

\ker\bigoplus_p(i_p\otimes1) =\bigoplus_p\operatorname{Tor}_1^{\mathbb Z}(H_p(C),H_{n-p-1}(D)).

后一识别使用自由分解 $0\to B_p\to Z_p\to H_p(C)\to0$ 。这证明正合性及指标，没有使用只适合有限矩阵的 Smith 分块。

选择各次投影 $C_p\to Z_p\to H_p(C)$ ，得到链映射 $C\to H(C)$ ，其中 $H(C)$ 取零微分；对 $D$ 同样构造。张量后在同调上得到

H_n(C\otimes D)\to\bigoplus_{p+q=n}H_p(C)\otimes H_q(D),

它与交叉积嵌入复合为恒等，故序列分裂。投影的选择解释了非自然性。另一方面，链映射保持循环、边界及包含，所以不含投影选择的整条正合列自然。

空间版的自然性针对两因子映射 $f:X\to X'$ 、 $g:Y\to Y'$ 及其乘积 $f\times g$ ：乘积链识别对胞腔的 $f,g$ 相容；一般连续的 $f,g$ 可分别由胞腔逼近替换，同伦不变性保证结果仍是 $(f\times g)_*$ 。这没有断言每个从产品到产品的连续映射都能分解为两因子映射。

例子与边界

与圆周相乘：有挠不表示必有Tor贡献

$H_*(S^1;\mathbb Z)$ 只在 $0,1$ 次为 $\mathbb Z$ ，全为自由群，所以所有 Tor 项为零。对任意有限 CW 复形 $X$ ，

H_n(X\times S^1)\cong H_n(X)\oplus H_{n-1}(X)

由两个交叉积自然给出。取 $X=\mathbb{RP}^2$ 得

H_0=\mathbb Z,\quad H_1=\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2, \quad H_2=\mathbb Z/2,\quad H_3=0.

二维的 $\mathbb Z/2$ 来自 $H_1(X)\otimes H_1(S^1)$ ，是张量项，不是 Tor 项。

实射影平面的自乘

两因子的整数同调只在 $0,1$ 次分别为 $\mathbb Z,\mathbb Z/2$ 。逐次数列出组合：

次数一：两个 $(1,0),(0,1)$ 张量项给 $(\mathbb Z/2)^2$
次数二： $(1,1)$ 张量项给 $\mathbb Z/2$ ；对应的 Tor 输入总次数为一，含一个自由 $H_0$ ，故为零
次数三：张量项为零，唯一 Tor 项为 $\operatorname{Tor}_1(\mathbb Z/2,\mathbb Z/2)=\mathbb Z/2$
次数四及以上：所有项为零

所以

(H_0,H_1,H_2,H_3,H_4) =(\mathbb Z,(\mathbb Z/2)^2,\mathbb Z/2,\mathbb Z/2,0).

乘积边界的直接计算中，三次循环 $e\otimes a+a\otimes e$ 被四胞腔的边界乘二，独立复核了次数三的 Tor。

改成模二，每个因子的 $H_0,H_1,H_2$ 都是一维。域上直接卷积得到各次维数

(1,2,3,2,1).

再从刚算出的整数群用同调 UCT：次数四完全来自 $\operatorname{Tor}_1(H_3,\mathbb F_2)$ ，也得到一维。这两种 Tor 处在不同定理中，输入分别是两个空间的同调与一个空间的同调加系数群。

推论与应用

在环面上，乘积映射 $(z,w)\mapsto(z^m,w^r)$ 对 $H_1\cong\mathbb Z^2$ 作用为 $\operatorname{diag}(m,r)$ ，对 $H_2$ 的作用为乘 $mr$ ，因为 $[a]\times[b]$ 是顶维生成元。交换两因子时，交叉积的次数符号为 $(-1)^{1\cdot1}=-1$ ，所以交换圆周坐标是反向的环面映射。

公式给出加法同调群，不自动给出上同调杯积或所有乘积空间的同伦型。即使某次正合列分裂，任意选择的分裂也不能被当作自然乘法分解；需要环结构时，还须另算交叉积、杯积及其符号。

参考资料

Allen Hatcher，Algebraic Topology，§3.B，pp. 273–276，Theorems 3B.5–3B.6、Corollary 3B.7：代数证明、空间版、自然性与域系数公式；pp. 270–271，Example 3B.4： $\mathbb{RP}^2$ 自乘的直接链计算。

形式陈述 ​

自由链复形上的证明 ​

与圆周相乘：有挠不表示必有Tor贡献 ​

实射影平面的自乘 ​

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形式陈述

自由链复形上的证明

与圆周相乘：有挠不表示必有Tor贡献

实射影平面的自乘