链复形张量积与乘积边界

一个“横向 $p$ 维、纵向 $q$ 维”的乘积块有两种边界：横向先到边界，或纵向先到边界。第二种情况必须让纵向法向越过前面的 $p$ 个方向，所以带 $(-1{)}^p$。这项符号使每个角落从两条路线到达时恰好反号。

张量的是整条链复形，随后才取同调。把各空间同调群直接张量，可能看不到两边边界关系配合产生的新循环；Künneth 定理理路Künneth同调公式Künneth theorem for homology · Kunneth formula · 库恩内特同调公式证明自由整数链复形乘积的张量项与低一次Tor项，并对RP²乘圆周和RP²自乘给出可逐矩阵核验的答案。负责量化这个差别。

逐项核验 ${\partial }^2=0$ ​

展开一次后再取边界：

两条交叉项的符号差来自取第一次边界后第一因子次数降了一。若省去 $(-1{)}^p$，交叉项会变成两倍，整数系数下通常不为零。

乘积胞腔为什么给同一公式 ​

把每个特征圆盘视为有向立方体。$I^p\times I^q$ 的边界中，前 $p$ 个坐标面给 $(\partial I^p)\times I^q$；后 $q$ 个坐标面在边界定向约定下统一多出 $(-1{)}^p$，给 $(-1{)}^p{I}^p\times \partial I^q$。经特征映射附着后，各面的整数出现次数就是胞腔边界系数，因此公式通过相对基本类下降到胞腔链。这个推导同时固定了符号与有序乘积基。

若 $z,w$ 都是循环，则 $z\otimes w$ 是循环；若 $z=\partial a$ 且 $w$ 为循环，则 $z\otimes w=\partial (a\otimes w)$。第二因子为边界时只多一个次数符号。因此得到同调交叉积

方形边界逐边检查 ​

以 $u=[0,1]$、$\partial u=v_1-v_0$ 表示有向区间，则

它依次包含右边、负左边、负上边与下边，正是标准平面方向的方形边界。再取边界，四个顶点各出现正负两次，全部抵消。把第二项误写为正号，角落不会抵消。

环面与一个真实的挠乘积 ​

圆周有 $C_1=\mathbb{Z}a,C_0=\mathbb{Z}v$，边界为零。乘积 $S^1\times S^1$ 因而有 $C_2=\mathbb{Z}(a\otimes a)$、$C_1={\mathbb{Z}}^2$、$C_0=\mathbb{Z}$，全部边界仍为零，得到环面的三度同调 $(\mathbb{Z},{\mathbb{Z}}^2,\mathbb{Z})$。

令实射影平面胞腔记为 $v,a,e$，次数为 $0,1,2$，$\partial e=2a$。在 ${\mathbb{RP}}^2\times {\mathbb{RP}}^2$ 中令

则 $\partial x=2z$、$\partial y=-2z$，所以 $x+y$ 是三维循环。唯一四维胞腔满足

三次链群由 $x,y$ 生成，三次循环恰由 $x+y$ 生成，因此 $H_3\cong \mathbb{Z}/2$。两因子都没有三维同调，这个类不能由同维同调张量的简单列表猜到。

交换因子的链映射为

逐项代入边界公式可验证它与边界交换。几何上，这个符号来自交换 $p$ 个与 $q$ 个坐标所需的 $pq$ 次换位。因此同调交叉积满足 ${\tau }_{\ast }([z]\times [w])=(-1{)}^{pq}[w]\times [z]$，而不是无条件交换。

上一节的三维挠循环给 Künneth 的 Tor 项一个具体代表。做更大的乘积时，可以先按总次数列出基，再用带符号的两条边界组成矩阵，最后求核模像；只对各空间的 Betti 数做卷积在整数系数下会漏掉这类挠。