从附着图到整数与模二同调 ​

给每条边和每个面固定方向，先写矩阵，再求核模像。这里普通同调取 $d_0=0$，所有未注明的系数为整数；${\mathbb{F}}_2=\mathbb{Z}/2$。零骨架均只有一个顶点，所以 $H_0=\mathbb{Z}$。

三条阅读路径 ​

• 核心主线：商拓扑理路商拓扑Quotient topology由满射逆像判据定义的最细拓扑，用来把指定点族连续地粘合为点。 → CW附着理路CW 复形CW complex通过按维粘贴开胞腔逐层构造，并满足闭包有限性与弱拓扑条件的空间。 → 奇异同调与诱导映射理路奇异同调Singular homology由奇异单形生成链复形，再以循环模边界得到的拓扑不变量。 → 球面映射度理路球面映射度Degree of a sphere map · 球面映射的度 · Brouwer degree on spheres用顶维同调定义球面自映射的整数度，证明复合、反射与非满射性质，并以角度提升复算圆周幂映射。 → 胞腔边界理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。 → 换系数与Tor理路同调泛系数定理Universal coefficient theorem for homology · Homology UCT · 同调普遍系数定理证明自由整数链复形换系数的自然短正合列，用可见的Tor代表解释新生循环，并以剪切反例检验非自然分裂。
• 按需补课：核模像理路链复形的同调Homology of a chain complex · Homology object以每次边界算子的核模去前一次边界算子的像所得的正合缺陷。、张量积理路张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。、相对同调理路相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。、带符号原像计数理路局部度与带符号原像计数Local degree · Local degree formula · 局部映射度用局部同调定义孤立原像的度，证明全局度等于局部度之和，并区别正则点符号与退化原像。、附着改变同调理路附着胞腔怎样改变同调Homology of cell attachment · Cell attachment exact sequence从附着球面的同调类构造连接同态，区分杀掉低维类、制造高维类和留下挠，并保留新循环的链代表。
• 进阶分支：映射柱理路拓扑映射柱Topological mapping cylinder · Mapping cylinder · 映射柱把任意连续映射替换为一个嵌入与一个同伦等价的复合，显式核验柱上的形变收缩及它不等于映射锥。与映射锥理路拓扑映射锥与同调正合列Topological mapping cone · Homotopy cofiber · 拓扑余纤维把映射柱的源端压成一点，得到记录原映射同调核与余核的空间，并从良好空间对推导长正合列。 → 同伦延拓理路同伦延拓性质Homotopy extension property · HEP · Cofibration of a subspace · 余纤维化包含把子空间上指定的连续变形延拓到全空间，并用圆盘柱的显式收缩证明CW对子空间包含具有该性质。与胞腔逼近理路胞腔逼近定理Cellular approximation theorem · 胞腔映射在保持指定子复形不动的条件下，把连续映射同伦为保持骨架的映射，并说明高维胞腔如何逐个被避开。；上链与上同调理路上同调Cohomology对链复形取到系数群的同态形成上链复形，再取上同调得到反变不变量。 → 上同调UCT理路上同调泛系数定理Universal coefficient theorem for cohomology · Cohomology UCT · 上同调普遍系数定理证明上同调到同调测量的满射及其Ext核，构造不能自然分裂的剪切例，并区分整数挠与域上的对偶。、Bockstein理路Bockstein连接同态Bockstein homomorphism · Integral Bockstein · Bockstein连接映射以提升、取边界再除以m构造连接同态，证明良定义与自然性，并区分整数Bockstein和模m自运算能看见的挠。、乘积链理路链复形张量积与乘积边界Tensor product of chain complexes · Product cellular chain complex · 链复形的张量积用次数符号构造张量链复形，逐项证明边界平方为零，并把乘积胞腔的边界落实为可计算的整数矩阵。与Künneth理路Künneth同调公式Künneth theorem for homology · Kunneth formula · 库恩内特同调公式证明自由整数链复形乘积的张量项与低一次Tor项，并对RP²乘圆周和RP²自乘给出可逐矩阵核验的答案。；闭曲面分类理路闭曲面分类定理Classification of closed surfaces · Compact surface classification · 闭连通曲面分类以多边形切粘规范化证明闭连通曲面的类型存在，再由整数同调证明类型与亏格唯一，分清分类证明和Euler计数。

任务 ​

1. 对环面的方形，水平边箭头都向右、竖直边箭头都向上。逆时针走边界，写附着词、整数边界矩阵与全部同调
2. 对圆盘边界作对径识别，先解释为什么目标一骨架是圆周，附着映射为何绕两次，再算 ${\mathbb{RP}}^2$ 的整数同调
3. 两个空间都改为模二系数；把每个新出现的类归到 UCT 的张量项或 Tor 项，并给 ${\mathbb{RP}}^2$ 新二维类的 Bockstein
4. 求 $z\mapsto z^{-3}$ 与 $z\mapsto z^2$ 的度及复合度；再求环面映射 $(z,w)\mapsto (z^{-3},w^2)$ 对 $H_1,H_2$ 的作用
5. 计算 ${\mathbb{RP}}^2\times S^1$ 与 ${\mathbb{RP}}^2\times {\mathbb{RP}}^2$ 的整数同调和模二维数；给自乘三维挠类的链代表
6. 判断 ${\mathrm{\Sigma }}_2$ 与 $N_4$ 是否同胚，并说明分类的存在性不能由Euler数表代替

答案一：环面 ​

令水平边为 $a$、竖直边为 $b$。从左下角逆时针行走，底边正走 $a$、右边正走 $b$、顶边逆走 $a$、左边逆走 $b$，得到

$$w=ab{a}^{-1}{b}^{-1}.$$

四个顶点识别为同一个点。两条边各自首尾相同，所以

$$C_2=\mathbb{Z}e,C_1=\mathbb{Z}a\oplus \mathbb{Z}b,C_0=\mathbb{Z}v,d_1=\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right).$$

将另一条边压成一点，$a$ 的出现贡献 $1-1=0$，$b$ 的出现同样抵消，所以

$$d_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$

于是 $H_0(T^2)=\mathbb{Z}$、$H_1(T^2)={\mathbb{Z}}^2$、$H_2(T^2)=\mathbb{Z}$，更高次数为零。$e$ 是二维生成元，两条边类是两个一维生成元。Euler核验为 $1-2+1=0$，也等于 $1-2+1$ 的同调秩交替和；计数只作复核，边界矩阵才是计算依据。

答案二：实射影平面 ​

圆盘边界点按 $e^{i\theta }\sim e^{i(\theta +\pi )}$ 识别。商圆周可用 $[e^{i\theta }]\mapsto e^{2i\theta }$ 参数化；这连续、双射，源紧目标 Hausdorff，故为同胚。原边界走一圈，商圆周的角度走两圈，因此附着映射度为二，边界词为 $aa$。

每维 $0,1,2$ 各一胞腔，链为

$$0\to \mathbb{Z}e\stackrel{2}{\to }\mathbb{Z}a\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}v\to 0.$$

乘二在整数中单射，像只有偶数，所以

$$H_2=0,H_1=\mathbb{Z}/2[a],H_0=\mathbb{Z}.$$

反转二胞腔方向会把 $2$ 变成 $-2$，核与像不变。只数两条几何半圆却忽略它们都正向映到同一个目标圆，可能错误地写成 $1-1$。

答案三：换系数与Tor来源 ​

将链群逐项与 ${\mathbb{F}}_2$ 张量。环面的边界本来就是零，所以各次结果为 ${\mathbb{F}}_2,{\mathbb{F}}_2^2,{\mathbb{F}}_2$。整数同调全自由，所有 Tor 项为零。

射影平面的乘二边界变成零，因此三度均为 ${\mathbb{F}}_2$。用UCT分别核验：

$$H_1:H_1(\mathbb{Z})\otimes {\mathbb{F}}_2=(\mathbb{Z}/2)\otimes {\mathbb{F}}_2={\mathbb{F}}_2,{\mathrm{Tor}}_1(H_0,{\mathbb{F}}_2)=0;$$$$H_2:H_2(\mathbb{Z})\otimes {\mathbb{F}}_2=0,{\mathrm{Tor}}_1(H_1,{\mathbb{F}}_2)={\mathrm{Tor}}_1(\mathbb{Z}/2,{\mathbb{F}}_2)={\mathbb{F}}_2.$$

所以一维类来自原挠群的张量，二维类来自低一次数的 Tor。其链代表为模二二胞腔 $\overline{e}$；整数提升 $e$ 有边界 $2a$，除二得到

$${\beta }_2[\overline{e}]=[a]\in H_1({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z}).$$

这条边缘等式解释了Tor来源。若仅将整数同调列表各项“改成模二”，会因 $H_2(\mathbb{Z})=0$ 而漏掉二维类。

进一步取 $A=\mathbb{Z}/4$，链边界仍为乘二而不为零。此时 $H_1=A/2A\cong \mathbb{Z}/2$，$H_2=A[2]=\{0,2\}\cong \mathbb{Z}/2$，二维生成元是 $2e$ 而不是 $e$。这检验了“改变系数”必须实际作用到边界。

答案四：度与乘积映射 ​

$z^{-3}$ 的角度提升为 $t\mapsto -3t$，净增加 $-3$；$z^2$ 的提升为 $2t$，度为二。复合 $z^{-6}$ 的度为 $-6$，既可直接读提升，也等于 $2(-3)$。

环面映射 $F(z,w)=(z^{-3},w^2)$ 分别把一维生成元送到 $-3[a]$ 与 $2[b]$，所以

$$F_{\ast }{|}_{H_1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$

顶维生成元为 $[a]\times [b]$，交叉积自然性给 $F_{\ast }([a]\times [b])=(-3)(2)[a]\times [b]$，即 $H_2$ 上乘 $-6$。不是把两个一维度相加。交换两个圆周因子则在 $H_2$ 上乘 $-1$，因为交换两个一次类带符号 $(-1{)}^{1\cdot 1}$。

答案五：低维乘积 ​

圆周整数同调自由，所以 ${\mathbb{RP}}^2\times S^1$ 的Künneth Tor项全部消失。次数 $0,1,2,3$ 的整数同调依次为

$$\mathbb{Z},\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2,0.$$

这里二维挠来自 $(\mathbb{Z}/2)\otimes \mathbb{Z}$，仍是张量项。模二 Betti 数是 $(1,2,2,1)$；最高三维类由换系数UCT的 ${\mathrm{Tor}}_1(H_2,{\mathbb{F}}_2)$ 提供。

对两个射影平面相乘，整数结果为

$$(H_0,H_1,H_2,H_3,H_4)=(\mathbb{Z},(\mathbb{Z}/2{)}^2,\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2,0).$$

次数二来自一阶群的张量；次数三来自Künneth中的 ${\mathrm{Tor}}_1(H_1,H_1)$。直接复核：令 $x=e\otimes a,y=a\otimes e,z=a\otimes a$，乘积边界给

$$\partial x=2z,\partial y=-2z,\partial (e\otimes e)=2(x+y).$$

所以三维循环恰为 $\mathbb{Z}(x+y)$，四维边界为其偶数倍，确得 $H_3=\mathbb{Z}/2$。模二各次维数为 $(1,2,3,2,1)$，等于多项式 $(1+t+t^2{)}^2$ 的系数。UCT独立核验第四次来自整数 $H_3$ 的二挠，第二次则是一维张量项加两个Tor方向，总维数三。

答案六：分类与失败条件 ​

${\mathrm{\Sigma }}_2$ 的标准词为两个交换子相接，$d_2=0$，故 $H_2=\mathbb{Z},H_1={\mathbb{Z}}^4$。$N_4$ 的标准词为四个平方相接，$d_2=(2,2,2,2{)}^T$，故 $H_2=0,H_1={\mathbb{Z}}^3\oplus \mathbb{Z}/2$。虽然二者Euler数都是 $-2$，同调不同，不能同胚。

分类存在性先借用曲面三角剖分，再切粘为一面一顶点，抽出交叉帽或把手，并将一交叉帽加一把手改为三交叉帽。唯一性由这些标准模型的整数同调区分。缺少前半段时，Euler数表没有证明模型已穷尽。

最后两个反例：满射圆周映射可先正绕一周再反绕一周，度仍为零；$T^2$ 与 $S^1\vee S^1\vee S^2$ 同调相同，基本群却分别交换与非交换。因此非零度推出满射不能倒转，同调相同也不能直接升级为同伦等价。

参考资料 ​

• Allen Hatcher，Algebraic Topology，§2.2，pp. 134–141；§3.A，Theorem 3A.3；§3.B，Proposition 3B.1、Theorems 3B.5–3B.6；§3.E，pp. 303–306
• Jean Gallier、Dianna Xu，A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces，2012-09-12作者完整稿，§§6.2–6.4