Bockstein连接同态

模 $m$ 下没有边界，可能只是因为整数边界恰为 $m$ 的倍数。把这个倍数除掉，便看见一个低一维整数循环。它的 $m$ 倍又确实是边界，所以连接同态总落到 $m$ 挠中。

UCT 给出新出现的同调有多大，Bockstein 进一步给出一条具体箭头：从新循环出发，找回它原本未能闭合的整数边缘。这个计算可以追踪链代表，因而比只列群的同构类型更细。

公式为何良好定义 ​

由于 ${\partial }^{2}c=m\partial b=0$ 且整数链群无挠，$\partial b=0$。若换提升 $c^{\prime }=c+ma$，则 $b^{\prime }=b+\partial a$，同调类不变。

若换模 $m$ 同调代表，存在整数链 $d,a$ 使 $c^{\prime }=c+\partial d+ma$。取边界再除以 $m$ 仍只把 $b$ 改为 $b+\partial a$。因此公式只依赖同调类，且对相加可加。链映射 $F$ 满足 $\partial F(c)=F(\partial c)$，所以 $F_{\ast }{\beta }_m={\beta }_m{F}_{\ast }$；这就是自然性。

上链版本逐项同理：取整数提升、作用 $\delta$、除 $m$。自由链群使上链取值能逐基提升，且整数上链群无挠，所以 ${\delta }^2=0$ 保证结果为余循环。预合成链映射与这三步相容，得到反变自然性。

由长正合列，

且 ${\beta }_m[\overline{c}]=0$ 当且仅当该模 $m$ 同调类来自某个整数循环类。若 $\partial c=m\partial a$，将提升改为 $c-ma$ 就得到真正整数循环，也能直接验证这一提升判据。

实射影平面的模二二维类 ​

取胞腔 $e,a,v$，$\partial e=2a$。整数二维同调为零，模二时 $\overline{e}$ 成为非零二维类。公式给

因此它是同构。这把UCT 的 Tor 项理路同调泛系数定理Universal coefficient theorem for homology · Homology UCT · 同调普遍系数定理证明自由整数链复形换系数的自然短正合列，用可见的Tor代表解释新生循环，并以剪切反例检验非自然分裂。落实为一条边缘：新二维类的来源是一维二阶挠，而不是原有整数二维循环。

原上同调运算理路上同调运算Cohomology operation在所有空间上与拉回相容地把一类上同调变成另一类上同调的自然运算。页已经给出另一方向：模二一上链值为一，整数余边界为二，除二得到 $H^2({\mathbb{RP}}^2;\mathbb{Z})$ 的非零类。本页保留该计算入口，并证明两种次数方向及一般公式。

同样的模二群，可以有不同Bockstein ​

令 $M_d=S^1{\cup }_{z\mapsto z^d}{D}^2$，$d>0$。其 $H_1(M_d;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/d$，整数边界为 $\partial e=da$。当 $d$ 为偶数时，模二的 $H_1,H_2$ 都是 ${\mathbb{F}}_2$，但

$d=2$ 时约化后得到非零 $[\overline{a}]$；$d=4$ 时整数 Bockstein 的值是非零二阶元 $[2a]\in \mathbb{Z}/4$，进一步模二约化却为零。因此模二 Bockstein 为零不能推出不存在二幂挠。它可能漏掉阶数四的信息。

一般 $m$ 不一定整除 $d$。若 $g=gcd(d,m)$，模 $m$ 二维循环群由 $(m/g)\overline{e}$ 生成，阶为 $g$。提升后边界为 $(md/g)a$，故

这个元素也恰有阶 $g$，于是此例的连接同态把全部新二维类同构到 $H_1$ 的 $m$ 挠子群。

想知道一个模系数循环能否提升为整数循环，可计算 Bockstein。零值表示经过调整可以提升；非零值给出阻止提升的具体整数挠类。这里判断的是同调类的提升，不要求最初选中的那条链本身已经无边界。

约化 Bockstein 满足平方为零：第一次所得整数代表是 $b=\partial c/m$，它已满足 $\partial b=0$，因此将 $b$ 作为第二次的整数提升时结果为零。上链同理。这并不意味着全部挠都由一次 Bockstein 恢复，$M_4$ 已给出边界。