先写出要保护的概率，再选择校准程序 ​

“覆盖90%”可以指训练与未来点共同平均后的覆盖，也可以指至少95%的校准资料都会产生覆盖不低于90%的部署规则。这两个任务需要不同的计算。下面还加入第三种目标：预测集合允许漏掉少量真实标签，但平均漏失比例必须受控。

所有拟合流程、评分、菜单和损失都在其校准资料之外预先固定。每个任务先给输入，再交出完整规则、可复算结果和可迁移的条件边界。

任务一：四个响应怎样复用训练资料 ​

忽略输入，拟合器返回训练响应均值。历史响应为 $(0,0,2,4)$，内部参数 $\alpha =1/5$。分别构造Jackknife+理路Jackknife+ 预测区间Jackknife+ · Jackknife plus prediction把每个留一模型的新点预测与对应残差配对，借删二比较矩阵证明无稳定性假设下的有限样本覆盖，并区分平均中心式Jackknife。和CV+理路CV+ 交叉验证预测区间CV+ · Cross-validation plus prediction将每个折外模型的新点预测与本折残差配对，在等大预定折和IID数据下证明保折对称性带来的有限样本覆盖修正。，后者固定两折 $I_1=\{1,2\},I_2=\{3,4\}$。

端点必须和自己的模型配对 ​

Jackknife+的四个模型值为 $(2,2,4/3,2/3)$，留一残差为 $(2,2,2/3,10/3)$，故候选端点为

$$a=(0,0,2/3,-8/3),b=(4,4,2,4).$$

下秩为1、上秩为4，得到 $[-8/3,4]$。它需要四次三样本拟合；最坏边际覆盖下界为 $1-2\alpha =3/5$，不是4/5。

CV+的两个折外模型分别预测3和0，对应残差为 $(3,3,2,4)$。候选端点为

$$a=(0,0,-2,-4),b=(6,6,2,4),$$

同样的端点秩给出 $[-4,6]$。现在只需两次二样本拟合，但有限折修正为

$$\frac{1-K/n}{K+1}=\frac{1}{6},$$

所以本单元证明给出的覆盖下界是 $1-2/5-1/6=13/30$。拟合调用减少并没有承诺集合更窄，也没有承诺相同最坏覆盖。

若改要90%的最坏保证 ​

Jackknife+按通用界可取内部 $\alpha =0.05$；本例只有四个历史点，端点秩此时落在0和5，所以输出整个实轴。CV+的这项通用下界即使让正α趋零也不超过5/6，因此不能靠反解此界为当前折数提供90%证书。

这不等于“CV+绝不可能覆盖90%”：小于1/5的内部α也会使本例输出整个实轴，此时可直接认证覆盖为一。正确结论是这项有限折通用下界不够锐，而无穷端点另有平凡但真实的保证。不能为得到有限区间而把不存在的秩夹到观测极值。

训练样本数跳变的拟合器还提供检查接口：响应恒零，偶数训练规模预测100、奇数规模预测0。取四个历史点且沿用 $\alpha =1/5$，全数据中心加留一残差得到 $\{100\}$，Jackknife+却得到 $\{0\}$。模型不稳定时，配对端点承担了实际责任。

任务二：非等宽集合把覆盖资源分给了谁 ​

采用CQR理路共形化分位回归Conformalized quantile regression · CQR用冻结分位曲线的有符号越界分数校准非等宽预测集合，完整处理负阈值收缩、空集和边际覆盖不等于群组覆盖。分数 $E=max(l(X)-Y,Y-u(X))$。设A组占9/10，响应均匀于 $[0,4]$；B组占1/10，响应均匀于 $[1,6/5]$。冻结原边界恰为各自整个响应范围。每次独立抽九个校准观测，以第八小分数校准共同阈值。

A、B两组分数分别在 $[-2,0]$ 和 $[-1/10,0]$ 均匀。共同分数CDF在−1/10处为171/200。令

$$H(v)=\sum _{j=0}^7(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{j})v^j(1-v{)}^{9-j}.$$

真实未来分数为s时，其被接受的概率为 $H(F(s))$。因此B组覆盖是

$$\frac{200}{29}{\int }_{171/200}^{1}H(v)dv\approx 0.152815,$$

A组覆盖约为0.871909，按9:1加权恰好为0.8。B组的预测集合甚至以约0.616854的校准概率为空。这三份数值均可由多项式积分和二项尾精确重算。

左图是另一份具体校准结果 $q=-0.2$ 的几何说明；右图才是上述总体对随机校准资料取平均的覆盖。两种概率条件不能混读。

修复目标时要改校准合同 ​

若要求A、B分别受到保护，可以在校准前固定这份输入划分，再按分割共形的组内规则理路分割共形预测Split conformal prediction · 分割保形预测用冻结评分规则的校准秩构造预测集合，并在预先固定群组内分别校准，以获得边际或群组覆盖保证。分别校准。假设实际九个校准观测中B组只有一个，则该组所需秩为 $\lceil 2\times 0.8\rceil =2$，必须用附加的无穷阈值，B组预测集合成为整个实轴。

这确实避免当前群组漏盖，但也展示代价：稀有组资料太少，非平凡集合可能无从保证。原模型的两个边界很准确，并不能补出没有采到的校准信息；将两组重新混合取得有限阈值，则又回到仅保护边际的合同。

任务三：从零一覆盖改成多标签漏失损失 ​

标签A、B、C的冻结排序为A、B、C。三个动作依次输出前一个、前两个、全部标签。真实标签集合依次为 $\{A,B\},\{A,C\},\{B\},\{A\}$，按每个观测的漏失比例评分，三个经验均值为 $1/2,1/8,0$。

要求 $\alpha =2/5$，损失上界 $B=1$。CRC理路共形风险控制Conformal risk control · CRC在预定有序网格上以有限样本修正校准单调有界损失，通过对称oracle证明期望未来损失受控，并给非单调失效与大概率风险的区别。的修正均值为 $3/5,3/10,1/5$，所以选择前两个标签。证书为

$$E_{D,Z_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}}L(\hat{\lambda };Z_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}})\le 2/5.$$

若改要求95%的校准资料产出真实风险不超过2/5的规则，则使用RCPS理路风险控制预测集合Risk-controlling prediction sets · RCPS用逐点风险上置信界和安全后缀选择，在单调有序菜单上给出校准资料层面的高概率风险保证，并区分任意菜单的同时校正。。Hoeffding半径是 $\sqrt{\log 20/8}\approx 0.611937$，中间动作上界约0.736937，无法通过；当前应返回全标签安全动作。

两份结果并不冲突。一个精确小模型能看清差别：首动作损失Bernoulli(1/2)，末动作零损失，仍取n=4。CRC在校准总损失至多1时选择首动作，这些校准资料占5/16。平均部署风险为5/32，低于2/5；但风险超标的资料比例是5/16，远大于0.05。

交付时顺手检查两个容易混淆的量 ​

中间标签集合在四行中总共漏一个标签，真实标签共六个，合并计数为1/6；逐观测比例平均却是1/8。本任务保护后者，不能把前者写进证书。

另有100份真正IID资料且经验均值相同，Hoeffding半径约0.122387，RCPS即可选中间动作。把这四行复制25遍没有这个效果，因为有效抽样模型没有变成100份独立观察。

任务四：为一次长期部署选择校准秩 ​

现在回到冻结的实值评分，校准及未来资料IID，分数CDF连续。可用99份校准观测，目标是至少95%的校准资料产出未来覆盖至少90%的规则。这里不固定未来输入x，只固定整份已实现校准资料。

普通边际90%校准会选 $k=\lceil 100\times 0.9\rceil =90$。其平均覆盖为0.9，但校准资料条件覆盖理路给定校准资料后的共形覆盖Calibration-conditional conformal prediction · PAC conformal calibration · Training-conditional coverage把部署规则的条件覆盖率视为随校准资料变化的随机量，以顺序统计量和精确二项尾选择满足双层概率目标的校准秩。低于0.9的概率是

$$P\{\mathrm{Bin}(99,0.9)\ge 90\}\approx 0.464477.$$

按双层目标重新选秩，比较相邻两个门槛：

$$P\{\mathrm{Bin}(99,0.9)\ge 94\}\approx 0.0611516>0.05,$$$$P\{\mathrm{Bin}(99,0.9)\ge 95\}\approx 0.0254044\le 0.05.$$

故最小合格秩是95，部署阈值应取第95小校准分数。其平均覆盖提高为0.95；实际那份校准资料的覆盖仍未知，但至少95%的资料会达到0.9。这是通过校准样本的随机性给出的外层保证，不是直接观测到了总体覆盖率。

若只有很少校准数据，可先检查最大秩：同样的90%/95%合同，分布无关二项认证首次允许有限阈值是在n=29。连续F时这是当前有限秩规则的必要门槛；离散F可能更早合格，例如分数恒零时条件覆盖总为一。不能把29解释成每一种固定总体都必须支付的样本数。

复算、输入合同与停止位置 ​

下载标准库精确复算脚本与运行结果。脚本用Fraction枚举留一/保折比较矩阵、单调损失表、风险后缀选择与二项概率，并以80位Decimal计算所列Hoeffding半径；CQR群组覆盖由有理多项式积分得到，不以随机模拟比例代替证明。

迁移时逐项填写：允许读取哪些训练/校准资料，拟合是否排列对称，折是否预固定，评分是否冻结，损失是否逐点单调且有界，阈值秩是否存在，所需概率是否固定了校准资料或输入群组。哪一项改变，便回到相应定理重新检查。

本单元没有给逐输入覆盖、非IID时间序列、标签依赖折划分、任意数据依赖损失菜单或无界损失的统一保证。脚本的有限枚举发现实现错误，分布无关和全部样本规模结论由正文证明承担。

返回学习路线：从预测覆盖到风险校准