风险控制预测集合

若真正风险随参数下降，所有风险超标的参数形成一段开头。尽管我们不知道它的终点，它在总体固定后是一个确定参数。如果选出的安全后缀还误含不安全参数，就一定误判了这段开头的最后一个点。

于是整个选择失败事件被一个确定点的置信界失败覆盖。这是可以共用同一个δ而不乘菜单长度的原因。真正承担作用的是总体风险的单调次序加后缀规则，并不是各个置信区间突然获得了同时覆盖。

完整的有限网格证明 ​

若全部参数已安全，式(3)显然成立。否则令

末动作安全，所以 $j^{\ast }<M$。单调性给超标集合恰为 $\{0,\dots ,j^{\ast }\}$。若 $R_{\hat{j}}>\alpha$，就有 $\hat{j}\le j^{\ast }$；式(2)于是迫使 $U_{j^{\ast }}\le \alpha <R_{j^{\ast }}$。因此

后一个事件由式(1)控制在δ以内。这里 $j^{\ast }$ 可以未知，但不能依赖校准资料；其确定性来自先固定总体风险函数。

Hoeffding界把规则变成可运行程序 ​

对每个固定 j，令 ${\hat{R}}_j=n^{-1}\sum _{i}L({\lambda }_j;Z_i)$。由Hoeffding不等式理路Hoeffding 不等式Hoeffding's inequality独立有界随机变量和偏离期望的概率以平方偏差的指数速度衰减。，可取

因为 $P(R_j-{\hat{R}}_j>t)\le e^{-2n{t}^2/B^2}$，式(1)成立；截为 B 不会漏掉范围内的真实风险。逐点损失单调使经验风险与式(4)也单调，所以这个具体实现可直接选择第一个通过项，后面自动全部通过。若改用不保单调的其他置信界，就必须恢复式(2)的后缀检查。

考虑三个嵌套标签集合，其四份校准损失依次为列向量

取 $\alpha =0.4,\delta =0.05,B=1$。$n=4$ 时半径 $\sqrt{\log 20/8}\approx 0.611937$，前两个动作均不能取得式(4)的证书，只能使用安全后备。共形风险控制理路共形风险控制Conformal risk control · CRC在预定有序网格上以有限样本修正校准单调有界损失，通过对称oracle证明期望未来损失受控，并给非单调失效与大概率风险的区别。在同一资料上会选中间动作，因为它给的是期望风险合同，所需修正不同。

若另有100份真正IID校准观测，恰好得到相同的三个经验均值 $0.5,0.125,0$，半径约为0.122387，中间动作上界约为0.247387，便可选择它。把四行复制25遍不能当作100份IID资料；复制只改变表的长度，没有增加独立信息。

不检查后缀，逐点置信界可被挑选破坏 ​

设前三个动作的真实损失恒为0.9，末动作恒零，故逐点单调。校准资料还包含三个彼此独立的辅助标记 $V_j\sim \mathrm{Bernoulli}(0.1)$，与这些恒定损失同属观测；令

每个固定危险动作都满足 $P(R_j>U_j)=0.1$。以 $\alpha =0.5,\delta =0.1$ 运行“任意首个单点通过”的规则，只要三个标记至少一个为1，就选择风险0.9的动作，其失败概率为 $1-{0.9}^3=0.271>0.1$。

后缀规则则只有在最后一个危险动作的标记 $V_2=1$ 时，才可能选择危险动作，失败概率正好0.1。这个刻意简单的上界不是效率推荐，它隔离了一个逻辑事实：逐点有效的置信界不允许任意事后挑选。

目标风险要写对分母 ​

嵌套预测集合不保证每一种损失都单调。漏失比例通常随集合扩大下降，集合大小惩罚却会上升；F1等组合指标也须单独检查。若目标改为“只在被接受样本中计算错误率”，其总体定义包含接受概率分母，应使用选择性分类理路选择性分类与拒绝风险Selective classification · Classification with reject option · Risk-coverage tradeoff为可拒绝预测同时定义覆盖率、接受后错误和拒绝成本，推导Bayes拒绝区间与固定覆盖率最优选择，并说明校准保证可保留的筛选范围。的相应风险，不能把这里的无条件平均损失直接换名。

一个置信层次不能随意翻译成另一个 ​

式(3)把校准资料分为至少 $1-\delta$ 的合格部分与至多δ的失败部分。由于风险不超过 B，粗略地有

这通常大于α。因此本页的高概率合同与CRC的期望合同并非无条件互相推出。若还要指定某个期望预算，可先据这一式调整α和δ，或另用专门的期望风险校准。

同理，式(3)没有条件于每个输入 x；好校准资料上的总体风险仍可能在某些输入群组集中。多群组、多损失或多次重新部署，若要求同时保证，都须进一步分配失败预算。

任意有限菜单可以同时校正，但成本不同 ​

若候选不构成单调菜单，可为每个候选建立失败概率至多 $\delta /N$ 的上置信界，N为候选数。用并集界理路并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。，至少 $1-\delta$ 的概率下所有真实风险同时不超过各自上界。此时才可以在通过的候选中按成本或宽度任意选择，并保留已知安全后备。

Hoeffding实现的半径相应变为 $B\sqrt{\log \left(N/\delta \right)/(2n)}$。这与有限假设类的同时泛化界理路有限假设类泛化界Finite-class generalization bound固定假设的集中加上对有限类并集，得到同时成立的风险偏差界。有相同的菜单规模代价；它不是单调后缀方法无需该代价的同一证明。

给定全部 $U_j$，从末端反向递推 $V_j=max(U_j,V_{j+1})$，即可在 $O(M)$ 时间找首个 $V_j\le \alpha$ 的位置。计算整个经验损失表通常需 $O(nM)$ 次评价。若直接用式(4)的单调界，可二分找通过边界，但训练、集合生成和损失评价成本仍须单列。