四个实根、一个重根、两条符号证书 ​

这份练习的终点是一份可以逐项复算的答案：给定展开的七次多项式，找出全部不同实根，为每一个给有理隔离区间，恢复重数，并判断另一个多项式在它们上面的符号。不要用一串近似根代替证明；需要交出的数据是系数恒等式、端点符号和精确矩阵分解。

学习入口 ​

核心路线是多项式根界理路多项式的根界Polynomial root bounds · Cauchy root bound · 多项式的 Cauchy 根界用系数的绝对值给全部复根一个严格外界，再通过倒数多项式与变量缩放构造可核验的实根搜索范围。 → Sturm计数理路Sturm 多项式实根计数Sturm theorem for real polynomial roots · Sturm sequence · 多项式的 Sturm 定理用带负号的多项式余式链在区间两端数变号，证明其差恰为不同实根数，并明确零项、重根和根端点的处理。 → 实根隔离理路有理多项式的实根隔离Real root isolation of rational polynomials · Sturm bisection isolation · 实根隔离以精确根计数驱动区间细分，为每个不同实根给出互不相交的有理隔离区间，证明终止、完整性和重数恢复。 → 实代数数表示理路实代数数的精确表示Exact representation of real algebraic numbers · Isolating interval representation · 实代数数用整系数多项式和有理隔离区间指定一个实根，以GCD判等、区间细化比较大小，并为符号判断与精确算术保留正确根分支。 → Sturm–Tarski查询理路Sturm–Tarski 符号查询Sturm–Tarski query · Tarski query · Sturm–Tarski theorem · 加权实根符号查询将实根计数推广为根上符号之和，以导数加权负余式链计算查询，并用三次查询恢复正、负、零根数。。前五站只使用有理多项式运算、大小比较与连续性的基本事实。

第六站Hermite迹型理路Hermite 迹型与实根符号Hermite trace form · Hermite matrix real root counting · Hermite criterion with sign conditions · Hermite 实根判据在多项式商代数上以乘法算子的迹构造对称形式，证明其签名等于实根上的符号查询，并用精确合同分解复核三次算例。另需商环、线性代数与惯性。它用另一类数据复核相同结论，可以在前五站完成后再学。已有的平方自由分解、多项式环和极小多项式页面作为工具接入，不需要重复阅读整条抽象代数路线后才能开始计算。

任务一：范围、去重与完整性 ​

输入为

$$F(x)=x^7-2x^6-2x^5+5x^4+x^3-3x^2-2x+2.$$

请先证明以下因式恒等式，再计算GCD，不要从图形猜重数：

$$F=(x-1{)}^2(x^2-2)(x^3-x-1),gcd(F,F^{\prime })=x-1.$$

平方自由部分为

$$P=F/(x-1)=x^6-x^5-3x^4+2x^3+3x^2-2.$$

从展开系数得到Cauchy根界 $|z|<4$。这保证全局计数只需在 $(-4,4)$ 进行。

为四个不同实根分别交付

$$I_1=(-3/2,-11/8),I_2=(3/4,5/4),I_3=(5/4,4/3),I_4=(11/8,3/2).$$

验证每个区间的 $P$ 根数为一，且全区间根数为四。可先用三个互素因子的短Sturm链手算，再用配套程序直接对 $P$ 计数交叉核对。

四个区间对应的重数是 $(1,2,1,1)$。其中 $I_2$ 包含精确有理根一，$I_3$ 包含 $x^3-x-1$ 的唯一实根 $\alpha$；另外两个分别包含 $-\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}$。全部实根按重数合计五个，其余两个是非实共轭根。

任务二：在根上计正、负、零 ​

令 $q=x^2-2$。目标不是求 $q$ 在所有实数上的符号，而是只在 $P$ 的四个实根上统计。

在 $I_1,I_4$ 中，由共同因子认证 $q=0$。在 $I_2$ 中，根是一，所以 $q(1)=-1$。在 $I_3$ 中，$5/4<\alpha <4/3$，于是 ${\alpha }^2<16/9<2$，故 $q(\alpha )<0$。

因此逐根符号为

$$(0,-1,-1,0).$$

不借助这些根的名字，直接计算Sturm–Tarski查询也应得到

$$T(1;P)=4,T(q;P)=-2,T(q^2;P)=2.$$

三式恢复

$$(n_{+},n_{-},n_0)=(\frac{2-2}{2},\frac{2+2}{2},4-2)=(0,2,2).$$

这里按不同根计数。若改为按原七次 $F$ 的重数计，根一的负贡献出现两次，结果应为 $(0,3,2)$。请说明这个变化来自哪一个平方自由块。

任务三：对三次部分使用两种独立中间数据 ​

令 $p=x^3-x-1$。在 $I_3$ 中，$q=x^2-2$ 的加权负余式链为

$$p,-4x^2+3x+2,(10-x)/16,368.$$

在 $5/4$ 的符号依次为 $(-,-,+,+)$，变号数一；在 $4/3$ 为 $(+,-,+,+)$，变号数二。查询等于 $-1$。

另一路由关系 $x^3=x+1$ 建立乘法矩阵

$$C=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$$

计算 $\mathrm{Tr}(C^k)$，再构造 $H_1,H_q,H_{q^2}$。分别核验Hermite页给出的 $LD{L}^{\mathsf{T}}$ 分解，读出对角数据

$$(3,2,-23/6),(-4,1/4,-23),(6,-19/6,23/19).$$

签名分别为 $(1,-1,1)$，因此三次部分有一个实根，在它上面 $q$ 严格为负。不能只比较三张矩阵的行列式符号；签名要求计正、负方向数。

任务四：故意破坏一条证书 ​

逐项说明以下修改为何不合法，并展示错误发生在哪里：

1. 将普通Sturm链末项 $-23/4$ 首一化为正一，再照旧数变号
2. 宣称 $(4/3,3/2)$ 也隔离三次根
3. 对 $p=x$，用 $V(-1)-V(0)$ 作为开区间 $(-1,0)$ 的根数
4. 将 $H_x$ 左上角的零当作一个零特征值
5. 把查询 $T(q;P)=-2$ 写成“恰有两个负根”，不再检查 $T(q^2;P)$

参考核对：第一项会把三次多项式误计为三个实根；第二个区间实际上计零；第三项错误计入右端点；第四张矩阵行列式为 $-23$，并不退化；第五项一般不能排除更多正负贡献互相抵消。

迁移练习 ​

保持 $P$ 不变，将查询改成 $q_1=x-1$。依区间顺序，符号为 $(-1,0,1,1)$，所以三次查询应为 $(N,U,W)=(4,1,3)$，恢复 $(n_{+},n_{-},n_0)=(2,1,1)$。

再将 $P$ 改为 $P^2$：不同根的隔离区间与三次查询不变，按重数统计则每项翻倍。最后试用 $x(x^2-2)$ 运行细分；初始中点零恰是根，程序必须走“改选非根切口”的分支，不能把根遗失在左右两个开区间之间。

下载与复算 ​

• 精确核验脚本
• 已运行的完整结果

在Python 3中运行脚本即可，未使用第三方库。多项式系数按低次到高次存储，所有数值运算使用标准库的Fraction。程序检查GCD、平方自由块、Sturm链、手工及自动隔离区间、加权查询、三张合同分解，还用125个查询多项式对一组已知实根进行两算法交叉检查。

脚本为了让每项检查可以独立调用，会重复构建余式链；正文的隔离复杂度分析针对预建并复用一条链的实现，不能直接作为此检查脚本的性能界。

脚本含四类故意损坏的输入或证书检查，并测试中点恰为有理根的分支。结果文件中的PASS表示这些明确列出的计算已通过，不代表一般算法已在证明助手中形式化，也不代表网站渲染、构建或全部内容审核已经完成。