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谱更新与总误差：终点任务及完整答案 ​

输入与验收任务 ​

主输入是精确实数矩阵

$$D=\mathrm{diag}(1,1,3,5),z=(1,1,0,1{)}^T,B=D+z{z}^{\ast }.$$

已知 $D$ 的完整谱基，不把求原分解的成本藏起来。前六问优先交付有理恒等式、根式和带符号的区间证书；小数只能辅助阅读。

1. 对主输入先消去不变方向，写完整正交换基与活动块，证明四个谱值一个也没漏
2. 用久期函数把两个活动根分别隔离在宽度 $1/100$ 的有理区间内，给全部新特征向量的公式并说明哪些成本仍需支付
3. 改为 $D_1=\mathrm{diag}(0,1,3)$、$z_1=(1,0,1{)}^T$、系数 $2$，说明消去的旧值与活动根相撞后怎样计重数
4. 对主输入认证有序谱的Frobenius平方和误差，比较逐项界，并给根的中点输出及输入误差合成预算
5. 对 $A=\mathrm{diag}(1,2,4)$、$U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$、$C=\mathrm{diag}(1,-3)$，用小矩阵惯性隔离三个新谱值；切点 $2$ 处必须用合法替代路线
6. 求 $D-\tau z{z}^{\ast }$ 保持正定的准确范围，认证边界零向量，并说明有浮点小矩阵误差时何时仍能判正
7. 给数据矩阵增添一行：比较 $X_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ 与 $X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ 的奇异值，分别核算数据层和Gram层的总误差
8. 审计三份可疑报告：复谱各自按实部排序、一边正规就使用Hoffman–Wielandt、只凭重构残差零接受非正交SVD因子。每份都要给实际失败数值

答案一：先认证保留方向与活动块 ​

主矩阵直接乘出为

$$B=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 1\\ 1& 2& 0& 1\\ 0& 0& 3& 0\\ 1& 1& 0& 6\end{array}\right).$$

令

$$q_1=(1,-1,0,0{)}^T/\sqrt{2},q_2=e_3,q_3=(1,1,0,0{)}^T/\sqrt{2},q_4=e_4,$$

并取 $Q=[q_1,q_2,q_3,q_4]$。逐项内积给 $Q^{\ast }Q=I$。$z^{\ast }{q}_1=z^{\ast }{q}_2=0$，所以 $B{q}_1=q_1$、$B{q}_2=3q_2$。另两列给

$$Q^{\ast }BQ=(1)\oplus (3)\oplus \left(\begin{array}{cc}3& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 6\end{array}\right).$$

这是按重根空间消去理路秩一谱更新的久期方程与消去Rank-one secular equation · Diagonal plus rank-one eigenproblem · Secular equation deflation把Hermitian秩一更新化为单调有理方程，先处理重极点和零分量，再用精确符号隔离全部新根并核对重数。，不是把相等的两个 $1$ 随意合并成一项。值 $1$ 的二维空间仍保留一个方向，另一个方向进入活动块；值 $3$ 对应的更新分量为零，整个一维空间保留。

活动块特征多项式为 $x^2-9x+16$，故活动根

$$\alpha =(9-\sqrt{17})/2,\beta =(9+\sqrt{17})/2.$$

因为 $4<\sqrt{17}<5$，有 $2<\alpha <5/2<3<\beta$。完整升序谱为 $(1,\alpha ,3,\beta )$，完整特征多项式为

$$\det (xI-B)=(x-1)(x-3)(x^2-9x+16).$$

四个正交基方向已全部覆盖；两个活动根简单，保留值又不与它们相等，所以本例四根都简单。迹核对为 $1+3+\alpha +\beta =13=\mathrm{tr}B$，行列式核对为 $1\cdot 3\cdot 16=48$。

答案二：有理区间与特征向量分开验收 ​

活动久期函数为

$$f(x)=1+\frac{2}{1-x}+\frac{1}{5-x}.$$

它在 $(1,5)$ 和 $(5,\mathrm{\infty })$ 分别严格递增且各有一根。直接精确代入得

$$f(243/100)=-349/36751<0,f(244/100)=1/576>0,$$$$f(656/100)=-4/5421<0,f(657/100)=349/87449>0.$$

因此

$$\alpha \in (243/100,244/100),\beta \in (656/100,657/100).$$

这两个宽度为 $1/100$ 的区间都避开活动极点，并且已知各自只有一个根。端点符号不是浮点打印结果，分子分母的整数符号可直接复核。

对任一活动根 $\mu \in \{\alpha ,\beta \}$，令

$$y_{\mu }={(\frac{1}{1-\mu },\frac{1}{1-\mu },0,\frac{1}{5-\mu })}^T.$$

它非零，并满足

$$(B-\mu I)y_{\mu }=z(1+\frac{2}{1-\mu }+\frac{1}{5-\mu })=0.$$

故归一化后与 $q_1,q_2$ 一起给完整特征基。两个活动向量的正交性还可独立核对：

$$y_{\alpha }^{\ast }{y}_{\beta }=\frac{2}{(1-\alpha )(1-\beta )}+\frac{1}{(5-\alpha )(5-\beta )}=\frac{2}{8}+\frac{1}{-4}=0,$$

这里使用 $\alpha +\beta =9$、$\alpha \beta =16$。此处所有分母都非零；这并不保证在靠极点的别的输入中，直接浮点求倒数仍稳定。

一般有 $r$ 个活动极点时，一次函数求值累加 $r$ 项。已有宽度 $w_j$ 的第 $j$ 个可靠括区后，二分到中点误差 $\epsilon$ 需至多 $max(0,\lceil {\log }_2(w_j/(2\epsilon ))\rceil )$ 轮。找到避极点的初始端点、认证符号所需精度、返回原坐标与计算原矩阵残差，都是另外的工作。若要求的只是谱区间，本题已经完成；若交付数值特征基，还需检查归一化、正交性和原残差。

答案三：不能把重复值当成重复输出错误 ​

改后矩阵为

$$B_1=D_1+2z_1{z}_1^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 5\end{array}\right).$$

$e_2$ 保留特征值 $1$。活动块 $\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$ 的谱为 $1,6$，故完整谱是 $(1,1,6)$。可直接给一组正交特征向量：$e_2$、$(2,0,-1{)}^T/\sqrt{5}$ 对应 $1$，$(1,0,2{)}^T/\sqrt{5}$ 对应 $6$。

活动久期函数在 $1$ 处为 $1-2+1=0$，因为活动极点只有 $0,3$，旧值 $1$ 已被消去。最终把保留的一份 $1$ 与活动根的一份 $1$ 相加，重数为二。按“相同数值只留一项”去重，会把三阶矩阵错报成只有两份谱值。

答案四：总平方误差与近似输出的预算 ​

主输入的扰动为 $E=z{z}^{\ast }$，其唯一非零奇异值是 $\Vert z{\Vert }_2^2=3$。所以

$$\Vert E{\Vert }_F=\Vert E{\Vert }_2=3.$$

两边Hermitian，Hoffman–Wielandt理路Hoffman–Wielandt谱匹配平方和界Hoffman–Wielandt theorem · Hoffman-Wielandt inequality · Frobenius spectral matching bound由酉基重叠的双随机权重证明正规矩阵谱的一一匹配平方和界，并区分实谱排序、复谱指派和非正规失败。允许按升序配对：

$$(1-1{)}^2+(\alpha -1{)}^2+(3-3{)}^2+(\beta -5{)}^2=21-4\sqrt{17}\le 9.$$

等式由 $\alpha -1=(7-\sqrt{17})/2$、$\beta -5=(\sqrt{17}-1)/2$ 展开得到；不等式只需 $\sqrt{17}\ge 3$。逐项Weyl界给每项至多 $3$，不利用保留方向而直接相加仅给平方和至多 $4\cdot 9=36$；本页总预算是 $9$。精确消去又进一步告诉我们两项误差为零，这与总预算是不同来源的信息。

取第二问两个区间的中点，报告

$$\hat{\lambda }=(1,487/200,3,1313/200).$$

两项活动根的位置误差各小于 $1/200$，所以整份有序列表的Euclidean误差小于 $\sqrt{2}/200$。若真实输入是另一个Hermitian矩阵 $B_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}$，且已认证 $\Vert B_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}}-B{\Vert }_F\le 1/100$，两份真实有序谱的距离至多 $1/100$。再用向量三角不等式，报告列表到真实输入谱的总误差小于

$$\frac{\sqrt{2}}{200}+\frac{1}{100}.$$

这里明确分开了输入误差与求根区间误差。若为近似消去把一个小分量删成零，那项矩阵改动也必须先进入输入预算，而不能仍称它是同一个精确输入。

答案五：带正负权的小矩阵谱计数 ​

给定的秩二更新乘出

$$M=A+UC{U}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& -1& -3\\ 1& -3& 2\end{array}\right).$$

$-C^{-1}=\mathrm{diag}(-1,1/3)$ 的惯性为 $(1,1,0)$。对非旧谱切点，使用低秩惯性公式理路低秩更新的惯性与小矩阵证书Low-rank update inertia formula · Haynsworth inertia update · Small-matrix spectral count certificate用一个带边框矩阵的两次合同消元，将带正负权低秩更新后的谱计数化为小矩阵惯性，并处理奇异输入和有限精度符号认证。

$$\mathrm{In}(M-tI)=\mathrm{In}(A-tI)+\mathrm{In}(-K(t))-(1,1,0),$$$$K(t)=\left(\begin{array}{cc}1+(1-t{)}^{-1}+(4-t{)}^{-1}& (4-t{)}^{-1}\\ (4-t{)}^{-1}& -1/3+(2-t{)}^{-1}+(4-t{)}^{-1}\end{array}\right).$$

逐个代入的二阶证书为

$$\begin{array}{cccc}t& K_{11},K_{12},K_{22}& \det K(t)& n_{-}(M-tI)\\ -3& 39/28,1/7,1/105& -1/140& 0\\ -2& 3/2,1/6,1/12& 7/72& 1\\ 3/2& -3/5,2/5,31/15& -7/5& 1\\ 3& 3/2,1,-1/3& -3/2& 2\\ 5& -1/4,-1,-5/3& -7/12& 3\end{array}$$

除 $t=-2$ 的小矩阵正定外，其余行列式均负，故各有一正一负。每行的 $H=A-tI$ 与 $C$ 都可逆，小矩阵也无零特征值，所以所有表中切点都不是新谱点。

在 $t=2$，$H$ 奇异，不能使用该表的有理公式。按坐标 $(1,3,2)$，$M-2I$ 的前二阶块为 $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，耦合 $c=(0,-3{)}^T$，最后标量为 $-3$。因 $J^{-1}=J$、$c^{\ast }{J}^{-1}c=0$，Schur补仍为 $-3$，所以惯性为 $(1,2,0)$。这是新矩阵的直接精确合同证书。

由计数差，三个根分别落在

$$(-3,-2),(3/2,2),(3,5),$$

每段恰一根。多项式 $\det (xI-M)=x^3-3x^2-10x+21$ 可作独立乘回核验，但以上证书没有把近似求根当作计数依据。

答案六：正定减法的门槛与零重数 ​

计算

$$z^{\ast }{D}^{-1}z=1+1+1/5=11/5.$$

对 $\tau \ge 0$，低秩惯性证书把 $D-\tau z{z}^{\ast }$ 的非正方向数变成一阶矩阵 $1-11\tau /5$ 的符号，因此：$0\le \tau <5/11$ 时正定；$\tau =5/11$ 时有一个零特征值、其余三个正；$\tau >5/11$ 时有一个负特征值、其余三个正。

边界向量可取 $w=D^{-1}z=(1,1,0,1/5{)}^T$，直接代入得

$$(D-\frac{5}{11}z{z}^{\ast })w=z-\frac{5}{11}z\frac{11}{5}=0.$$

小矩阵是一阶零，认证零指数恰为一，避免只凭一个核向量就声称核只有一维。若允许所有实数 $\tau$，负 $\tau$ 是正半定加法，同样保持正定，故整体正定范围为 $\tau <5/11$。

在 $\tau =2/5$，余量为 $3/25$。若数值求解与小矩阵形成的总可靠误差上界 $\delta <3/25$，真实小矩阵仍正，因而仍能认证正定。若 $\delta \ge 3/25$，现有证据不足；这不证明矩阵不正定。在临界 $5/11$ 附近，普通打印符号无法认证零重数，需要精确关系或可靠区间与额外结构。

答案七：新增一行后的奇异值和两种尺度 ​

旧Gram矩阵为 $X_0^{\ast }{X}_0=\mathrm{diag}(1,4)$，新矩阵为

$$X^{\ast }X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 5\end{array}\right)=\mathrm{diag}(1,4)+(1,1{)}^T(1,1).$$

久期方程 $1+1/(1-x)+1/(4-x)=0$ 清分母得 $x^2-7x+9=0$。两根 ${\gamma }_{\pm }=(7\pm \sqrt{13})/2$ 均正，因而新奇异值降序为

$$\sigma (X)=(\frac{\sqrt{13}+1}{2},\frac{\sqrt{13}-1}{2}).$$

平方即可核对这两个根式，旧奇异值是 $(2,1)$。两项奇异值都增加 $(\sqrt{13}-3)/2$，故数据层的实际平方误差为

$$\sum _i({\sigma }_i(X)-{\sigma }_i(X_0){)}^2=11-3\sqrt{13}\le 2=\Vert X-X_0{\Vert }_F^2.$$

这是矩形Frobenius扰动界理路奇异值的Frobenius总误差界Mirsky singular value perturbation inequality · Frobenius singular-value variation · Hermitian dilation perturbation bound用Hermitian扩张完整核对矩形矩阵的正负谱与零重数，证明全部有序奇异值的平方误差由矩阵Frobenius误差控制。。对应的Hermitian扩张是五阶矩阵，谱为 $-{\sigma }_1,-{\sigma }_2,0,{\sigma }_2,{\sigma }_1$；中间的额外零来自 $3-2=1$ 的维数差。

Gram层比较的是 $(1,4)$ 与 $({\gamma }_{-},{\gamma }_{+})$，其实际平方误差为

$$({\gamma }_{-}-1{)}^2+({\gamma }_{+}-4{)}^2=13-3\sqrt{13}\le 4=\Vert (1,1{)}^T(1,1){\Vert }_F^2.$$

两种保证都正确，但度量对象不同：前者比较伸缩长度，后者比较其平方。这里实际误差分别约为 $0.18335$ 与 $2.18335$，不能因为都叫“谱误差”就相互替换预算。

答案八：三份报告各错在哪里 ​

第一份取正规对角矩阵

$$A_c=\mathrm{diag}(-1/10+i,1/10-i),B_c=\mathrm{diag}(1/10+i,-1/10-i).$$

原对角位置配对费用为 $2/25=\Vert A_c-B_c{\Vert }_F^2$。两组谱分别按实部升序配对，费用却为 $8$。修正是求一一匹配的最小平方费用，而非另找一种未经证明的复数排序。

第二份取 $A_n=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$、$B_n=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$。前者正规，后者不正规；谱为 $(-1,1)$ 与 $(0,0)$，任何匹配费用都是 $2$，矩阵平方差仅为 $1$。修正是先检查两边正规，或改用适用于实际非正规结构的别种证书。

第三份对 $A_s=2I_2$ 报告 $U=2I_2,\mathrm{\Sigma }=I_2,V=I_2$。确有 $A_s-U\mathrm{\Sigma }{V}^{\ast }=0$，但 $U^{\ast }U=4I_2\ne I_2$；真实奇异值是 $(2,2)$，不是 $(1,1)$。修正是认证左右基的正交性或带预算地正交化，再谈对角数与真实奇异值的误差。零残差不能修补一个错误的分解接口。

交付时必须保留的证据 ​

谱更新证书应包含保留方向与重数、活动极点和权重、每个根的无极点区间及可靠符号；匹配证书应包含排序或置换、采用的范数和两边结构；小矩阵惯性证书应包含可逆块、正负号、求解与形成误差的余量。图和小数可以帮助检查，不能替代这些精确条件。

四个概念入口分别是久期更新理路秩一谱更新的久期方程与消去Rank-one secular equation · Diagonal plus rank-one eigenproblem · Secular equation deflation把Hermitian秩一更新化为单调有理方程，先处理重极点和零分量，再用精确符号隔离全部新根并核对重数。、完整谱匹配理路Hoffman–Wielandt谱匹配平方和界Hoffman–Wielandt theorem · Hoffman-Wielandt inequality · Frobenius spectral matching bound由酉基重叠的双随机权重证明正规矩阵谱的一一匹配平方和界，并区分实谱排序、复谱指派和非正规失败。、小矩阵惯性理路低秩更新的惯性与小矩阵证书Low-rank update inertia formula · Haynsworth inertia update · Small-matrix spectral count certificate用一个带边框矩阵的两次合同消元，将带正负权低秩更新后的谱计数化为小矩阵惯性，并处理奇异输入和有限精度符号认证。与矩形奇异值总误差理路奇异值的Frobenius总误差界Mirsky singular value perturbation inequality · Frobenius singular-value variation · Hermitian dilation perturbation bound用Hermitian扩张完整核对矩形矩阵的正负谱与零重数，证明全部有序奇异值的平方误差由矩阵Frobenius误差控制。。其参考资料和一般证明在各页给出；本终点的矩阵、端点符号和所有乘回关系均可独立重算。