奇异值的Frobenius总误差界

长方矩阵没有自己的普通特征值列表，却有输入端与输出端。把两端放到一个更大的空间，令矩阵把输入送到输出、让伴随把输出送回输入，就得到Hermitian矩阵

每个正奇异值在这里出现两次，分别是 $+\sigma$ 与 $-\sigma$。扰动的元素也出现两次，位于两个非对角块。因此套用实谱的平方和界后，两边的倍数二恰好抵消。维数不等和秩不足留下的零方向必须一并计数，否则容易多出或少掉一份因子二。

图中只画固定的 $3\times 2$ 满列秩例子。若输入秩下降，正负谱对会同时移到零处；五个特征值的总数保持不变。

非方阵的取等与严格不等 ​

取两个 $2\times 3$ 矩阵

奇异值分别为 $(3,1)$、$(14/5,6/5)$，都已降序。两项变化是 $-1/5,1/5$，所以平方和为 $2/25$；矩阵差只有这两项非零，Frobenius平方也为 $2/25$，取到等号。

再把第二行方向转到第三列：

$B_1{B}_1^{\ast }=\mathrm{diag}(196/25,36/25)$，所以奇异值仍为 $(14/5,6/5)$，左边仍是 $2/25$。矩阵差却在 $(1,1),(2,2),(2,3)$ 三处非零，给出

奇异值只记录伸缩长度，未记录输入方向怎样转动。因此误差界可以很松；不能倒过来用奇异值距离上界矩阵距离。

秩能突变，绝对奇异值误差仍很小 ​

令 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$、$B_{\epsilon }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \epsilon & 0\end{array}\right)$，$0<\epsilon <1$。秩从一变为二，但只有第二个奇异值从零变为 $\epsilon$，两边平方都等于 ${\epsilon }^2$。定理不保证精确秩在小扰动下保持，也没有给零奇异值定义一个相对误差。

固定阈值下的“数值秩”是另一个可认证的问题。例如已知 $\Vert A-B{\Vert }_F\le \eta$，每项差都不超过 $\eta$；若某个 ${\sigma }_i(B)>\tau +\eta$，才可确定 ${\sigma }_i(A)>\tau$。若 ${\sigma }_i(B)<\tau -\eta$，可确定它低于阈值。落在灰区内的项应报告不确定，不能凭舍入后的零或非零强行分类。

正负谱对与全部零重数的证明 ​

由SVD取一对左右单位奇异向量 $A{v}_i={\sigma }_i{u}_i$、$A^{\ast }{u}_i={\sigma }_i{v}_i$。当 ${\sigma }_i>0$ 时，

这些向量正交规范。核则为 $\ker A^{\ast }\oplus \ker A$；若 $\mathrm{rank}A=r$，其维数为 $(m-r)+(n-r)=m+n-2r$。因此完整升序谱可以统一写成

其中两端列表内已经包含 $q-r$ 份零，总零数为 $2(q-r)+|m-n|=m+n-2r$。$B$ 也使用完全相同的长度和次序，即使它与 $A$ 的秩不同，按序对应仍有效。

两份扩张都Hermitian，所以Hoffman–Wielandt的有序实谱界理路Hoffman–Wielandt谱匹配平方和界Hoffman–Wielandt theorem · Hoffman-Wielandt inequality · Frobenius spectral matching bound由酉基重叠的双随机权重证明正规矩阵谱的一一匹配平方和界，并区分实谱排序、复谱指派和非正规失败。给

除以二完成证明。这里是把矩形问题转换成更大的Hermitian问题；并未宣称矩形矩阵本身是正规矩阵，也不需要它与另一矩阵共用奇异向量。

增添一行数据时，可比较两种误差尺度 ​

令

零行使两份数据同型，不改变原先非零奇异值。$X_0$ 的奇异值为 $(2,1)$，而

其特征值为 ${\gamma }_{\pm }=(7\pm \sqrt{13})/2$，所以新奇异值为 $(\sqrt{{\gamma }_{+}},\sqrt{{\gamma }_{-}})$。本页直接对数据矩阵给出

因为增添行的Frobenius范数是 $\sqrt{2}$。若改对Gram矩阵使用谱扰动界，所得预算为 $\Vert X^{\ast }X-X_0^{\ast }{X}_0{\Vert }_F^2=4$，控制的对象是奇异值的平方。不能拿这个四直接当成同一个误差对象，也不能在没有正下界时简单除以小奇异值来恢复相对精度。Gram中的秩一结构可交给久期方程理路秩一谱更新的久期方程与消去Rank-one secular equation · Diagonal plus rank-one eigenproblem · Secular equation deflation把Hermitian秩一更新化为单调有理方程，先处理重极点和零分量，再用精确符号隔离全部新根并核对重数。更新谱，本页则负责数据变化到伸缩长度总误差的保证。

验收一份数值SVD需先认证重构的含义 ​

设 $\tilde{A}=U\mathrm{\Sigma }{V}^{\ast }$，其中 $U,V$ 已核验为完整酉矩阵，$\mathrm{\Sigma }$ 为同型非负对角矩阵且已排序。若原矩阵到重构矩阵的可靠Frobenius误差上界为 $\eta$，则 $\mathrm{\Sigma }$ 中的数作为奇异值列表，其总平方误差至多 ${\eta }^2$。若测得残差还有误差上界 ${\eta }_R$，必须将其加到残差范数上，再平方。

正交性条件不能以“重构残差小”代替。对 $A=2I_2$，若交付 $U=2I_2,\mathrm{\Sigma }=I_2,V=I_2$，重构残差为零，但报告的两个奇异值一都错了；原因是 $U$ 不酉，$\mathrm{\Sigma }$ 并不是这份重构的奇异值。近似酉的情形可先做有误差预算的正交化，再用本页证书。奇异向量和奇异子空间的准确性还需间隔及方向信息，不能由这份长度列表的证书代替。