返回“表格、行列式与可逆词计数”路线

本终点使用四个已经证明的接口：水平条链理路Young 表与水平条链Young tableau · Young tableaux · Standard Young tableau · Semistandard Young tableau · 标准杨表 · 半标准杨表从分拆形状定义标准与半标准Young表，以水平条链和角格链提供可逆证书，并独立枚举七格形状的两种计数。检查填数，Jacobi–Trudi理路Jacobi–Trudi 与表格权计数Jacobi-Trudi identity · Jacobi–Trudi formula · Tableau expansion of Schur polynomials将既有Schur交错商连接完全齐次行列式和半标准表权和，完整证明系数分解、首次相交换尾及列严格对应。保存内容权重，钩式理路钩长与有限字母计数Hook-length formula · Hook-content formula · Young tableau hook formulas · 钩长公式 · 钩内容公式从表权行列式推出标准表钩长积与有限字母半标准表钩内容积，证明行钩缺项恒等式并处理重合变量、空形和斜形边界。计算两种表数，词插入与逆恢复理路RSK 词插入与逆恢复Robinson-Schensted word correspondence · RSK word insertion · Schensted row insertion · 行插入与记录表固定严格大于的行插入与严格小于的逆撞规则，证明有限词和同形表对双射、内容保持及第一行最长弱递增长度，再计算指定形状的词纤维。把这些数变成精确的词纤维。字母表固定为$\{1,2,3\}$，形状固定为$\lambda =(4,2,1)$，共有七格。

需要提交的不是一个孤立的525，而是四份彼此可以核对的证书：逆词及逐步状态、指定内容的全部插入表、按形状分组的总数，以及改变条件后的拒绝理由。所有填数都使用行弱增、列严格增的约定。

任务一：由表对恢复词，并核对每次撞击 ​

给出以下两张同形表：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P_A=\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 2& 3& & \\ 3& & & \end{array},Q=\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 7\\ 3& 5& & \\ 6& & & \end{array}.\end{array}$$

先检查接口。$P_A$内容是$(3,2,2)$；三个标签前缀形状为$(3)$、$(4,1)$、$(4,2,1)$。相邻差的新增列分别为$\{1,2,3\}$、$\{4,1\}$、$\{2,1\}$，各自无重复，所以是水平条链。$Q$恰用1到7各一次，行列都严格增加。

现在按$Q$最大标签逐个删外角。下表“携带值”从所删角格开始，依次列出向上一行取回的旧值；最后一个值就是此次恢复的$w_k$。

删除时刻$k$	所删格$(i,j)$	逆撞携带值	删完后的P各行
7	$(1,4)$	$2$	$(1,1,1);(2,3);(3)$
6	$(3,1)$	$3,2,1$	$(1,1,2);(3,3)$
5	$(2,2)$	$3,2$	$(1,1,3);(3)$
4	$(1,3)$	$3$	$(1,1);(3)$
3	$(2,1)$	$3,1$	$(1,3)$
2	$(1,2)$	$3$	$(1)$
1	$(1,1)$	$1$	空表

例如删6时，先取第三行的3；第二行最右一个小于3的值是第一列的2，将它换成3；第一行最右一个小于2的值是第三列的1，将它换成2。因此恢复的是1，而不是最初取出的3。

逆序输出为$2,1,2,3,1,3,1$，反转得到

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \boxed{{\displaystyle w_A=1313212.}}\end{array}$$

把式(2)逐字正插，新增格依次为

$$(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),$$

恰好重新写出式(1)的Q，最终P也回到$P_A$。尤其第六字1的撞击路径是第一行第三列、第二行第一列、第三行第一列，携带的值依次为1、2、3。正插采用首个严格大于，逆插采用最右严格小于，两条路径按相反次序恢复。

第一行长度为4。原词第$1,3,6,7$位给$1,1,1,2$，是一份达到4的弱递增子序列。本例恰好能取最终第一行作为子序列；这不是所有词都具备的性质，例如正文的$1323213$不能如此取值。普遍成立的是最小末值不变量及长度结论。

任务二：只数内容$(3,2,2)$的那一部分 ​

只看总表数15会丢掉内容信息。本任务要求列出内容$(3,2,2)$的全部P，说明为什么只有两张，再计算这种内容的词中有多少落入主形状。

先由三个标签1确定第一前缀：同列不能有两个1，且行列前缀必须左上封闭，所以${\mu }^{(1)}=(3)$。第二前缀有五格、最多两行，写为$(a,b)$。它与最终形状之间满足

$$2\le a\le 4,1\le b\le 2,a+b=5.$$

因此只有$(a,b)=(4,1)$或$(3,2)$；它们与$(3)$之间也都满足水平条条件。这给出完整的两张表

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P_A=\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 2\\ 2& 3& & \\ 3& & & \end{array},P_B=\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 2& 2& & \\ 3& & & \end{array}.\end{array}$$

没有第三种中间形状，因此这个枚举是穷尽的。它与权多项式中$x^3{y}^2{z}^2$的系数2一致：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& s_{(4,2,1)}(x,y,z)=m_{(4,2,1)}+m_{(3,3,1)}+2m_{(3,2,2)}.\end{array}$$

这里$m_{\alpha }$对指数的不同排列各加一次；例如$m_{(3,3,1)}=x^3{y}^{3}z+x^{3}y{z}^3+x{y}^3{z}^3$。因此式(4)保存了每个具体内容，不是仅把15分成三类后遗失了字母身份。

保持任务一的Q、只把P改成$P_B$，逆插恢复另一份词

$$w_B=1213213.$$

它也有三个1、两个2、两个3，但插入表不同。现在允许Q取主形状的任意标准表，每张P都恰有35种独立记录表选择，每个表对都逆恢复唯一词，所以该内容且该形状的词共有

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 2\cdot 35=70.\end{array}$$

所有内容$(3,2,2)$的七字词则有$7!/(3!2!2!)=210$份。式(5)只占其中三分之一，另140份落入其他形状；“固定内容”本身没有固定插入形状。

任务三：三条计数路径汇合，再覆盖全部七字词 ​

主形状的钩长逐行为

$$(6,4,2,1),(3,1),(1),$$

乘积为144。因此标准表数为$7!/144=35$。删除最大标签的角格递推另给$16+10+9=35$，它检查的是同一个标准表集合，完全没有用到三字母限制。

三字母半标准表的钩内容分子为

$$(3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(2\cdot 3)(1)=2160,$$

所以表数是$2160/144=15$。由水平条中间形状独立得到

$$\sum _{a=2}^4\sum _{b=1}^2(a-b+1)=15.$$

第三份证书是Jacobi–Trudi。取$h_k(1,1,1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+2}{2})$，有

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \det \left(\begin{array}{ccc}15& 21& 28\\ 3& 6& 10\\ 0& 1& 3\end{array}\right)=15(18-10)-21\cdot 9+28\cdot 3=15.\end{array}$$

式(6)使用$h_{-1}=0$、$h_0=1$；删掉这两个边界会改变行列式。15与35计数不同对象，最后由已证明的表对双射才得到$15\cdot 35=525$份主形状词。

为了核对没有把其他形状漏算，列出七格且至多三行的全部分拆。超过三行的形状在三个字母下没有半标准表，贡献为零。

形状$\lambda$	标准表$f^{\lambda }$	三字母半标准表$g_{\lambda }(3)$	词数$f^{\lambda }{g}_{\lambda }(3)$
$(7)$	1	36	36
$(6,1)$	6	48	288
$(5,2)$	14	42	588
$(5,1,1)$	15	15	225
$(4,3)$	14	24	336
$(4,2,1)$	35	15	525
$(3,3,1)$	21	6	126
$(3,2,2)$	21	3	63

最后一列相加为

$$36+288+588+225+336+525+126+63=2187=3^7.$$

每份词有唯一表对和唯一形状，因此这里是互不重叠的分类总和。公开程序逐字枚举2187份词只是对这份有限输出再作交叉核验；普遍双射与乘积公式已经由正文证明。

任务四：把证书迁移到改变后的条件 ​

转置保持哪些数 ​

将形状转置为$(3,2,1,1)$。每个钩的右臂与下腿互换，钩积仍为144，故标准表仍有35张。但第一列有四格，三个字母无法严格填满，半标准表数和三字母词纤维都为0。钩内容分子也含第四行首格的因子$3+1-4=0$，两份零证书一致。

若改用四个字母，零障碍消失。用同一钩积，新分子的逐行乘积为

$$(4\cdot 5\cdot 6)(3\cdot 4)(2)(1)=2880,$$

半标准表数为20，指定转置形状的四字母词数为$20\cdot 35=700$。这是改变字母表后的新纤维，不是原来525份词的转置重命名。

三份应当拒绝的输出 ​

• 比较号被改了。 对输入$11$，若把首个严格大于改成大于等于，算法得到竖列$1,1$。它既违反列严格，也把弱递增长度2错记成1，不能被本页验收。
• 只保存P。 $132$和$312$具有同一P却有不同Q。若删除记录表，逆输入无法区分这两词，不再是可逆编码。
• 把直形公式用于残缺图。 斜形$(2,2)/(1)$的标准填数实际有2张；对残留格直接取右/下钩积却得到4，错误套式给$3!/4=3/2$。正文钩式的输入合同是完整分拆图，不能跳过这一条件。

另一个容易误报的情况是三个变量都等于1。交错商的原分母为零，但它定义的Schur多项式并没有失去值；式(6)已经给出合法值15。应该拒绝的是“在未消去公因子的分式中除零”这一步，而不是拒绝这份计数问题。

复算入口 ​

下载标准库精确程序与固定结果。程序接受 --output 指定结果路径，所有判定使用整数或Fraction；普通模式与 -O 模式都执行同一批显式检查。

程序分别实现角格递推、水平条递推、逐格填表、精确行列式和正逆插入。它还枚举小型路径族，检查首次相交换尾的二次恢复、符号反转、权保留和全部抵消，不只对最终计数比一个相等号。文件中的范围与总项数明确列出，有限核验不替代正文的一般证明。