钩长与有限字母计数

标准表用固定的$N$个不同标签填格子，主要约束是这些标签的相对顺序。有限字母半标准表则允许同一行重复标签，其数目还随字母表大小$m$变化。因此一个公式的分子是$N!$，另一个公式的分子保留每个格子的位置和$m$。

钩乘积看上去像把很多局部约束独立相乘，但这些约束实际共享格子，通常不独立。证明应先从完整的表计数得到行列式，再把行列式里的差值乘积准确改写成钩乘积。下面会指出每行究竟少了哪些整数，使这个化简可以逐项复核。

同一形状的35与15 ​

对$\lambda =(4,2,1)$，钩长表与$m=3$时的钩内容分子分别为

钩积为$6\cdot 4\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1=144$，所以

前者与角格递推一致，后者与水平条链及Jacobi–Trudi全1求值一致。两种结果不能互换：35数标签1到7各一次的填法，15数可重复使用三个字母的填法。

转置形状为$(3,2,1,1)$。转置把每个格子的右臂与下腿交换，钩长不变，所以标准表数仍为35。但它有四行，三个字母无法严格填满第一列，半标准表数是0。形状转置没有保留“行弱、列严”的同一种有限字母填数。

单行、单列和斜形 ​

单行$(N)$只有一张标准表，其钩长为$N,N-1,\dots ,1$。式(2)给

正是从$m$种字母中取$N$个可重复值并排序。单列$(1^N)$的半标准表不许重复，给$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{N})$。空形状另按1处理，不用含负上参数的组合简写代替其定义。

斜形$(2,2)/(1)$只剩右上、左下、右下三个格子。右下必须填3，另两格可填1、2的任意顺序，故标准表数是2。若仅按残留格子计算右/下钩长，会得到$2,2,1$，错误套式(1)便得$3!/4=3/2$。非整数已经否决这种直接推广。

局部钩事件并不独立 ​

将1到4随机填入一个$2\times 2$方格，记左上、右上、左下、右下为$a,b,c,d$。事件$a<b,c$的概率为$1/3$，事件$b<d$的概率为$1/2$。两者同时成立却强迫$a$是最小值，再要求剩下三数中$b<d$，概率为$1/4\cdot 1/2=1/8$，不是$1/6$。

所以“每格在自己钩中最小的概率是钩长倒数，再把概率相乘”不是证明。所有钩积最后恰好给出正确总数，需要下面的代数结构来解释。

从平方自由系数得到标准表行列式 ​

先取$N>0$，在$N$个变量中实际使用表权展开与Jacobi–Trudi理路Jacobi–Trudi 与表格权计数Jacobi-Trudi identity · Jacobi–Trudi formula · Tableau expansion of Schur polynomials将既有Schur交错商连接完全齐次行列式和半标准表权和，完整证明系数分解、首次相交换尾及列严格对应。。单项式$x_1\cdots x_N$的系数数每个标签恰出现一次的表，正是$f^{\lambda }$。

在某个行列式项$\prod _i{h}_{d_i}$中，下标总和为$N$。若全部$d_i\ge 0$，要产生$x_1\cdots x_N$，必须把$N$个互异标签分配给各行，行$i$得到$d_i$个；每份分配在各行中都只有一种递增排列。因此系数为$N!/\prod _i{d}_i!$。负下标项为零，约定其阶乘倒数也为零，便得到

这里的约定$1/k!=0$只用于$k<0$的矩阵条目，不是在定义负整数的阶乘。

下降阶乘给出差值乘积 ​

令$l_i={\lambda }_i+r-i$，则$l_1>\cdots >l_r\ge 0$。把式(3)第$i$行乘以$l_i!$，条目变为

若$k>l_i$，下降乘积含零，仍与矩阵负下标的零约定相容。多项式$(z{)}_k$次数为$k$、首系数为1，所以把列按下降次数$r-1,\dots ,0$排列后，用低次列消去低次项不会改变行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。。它等于Vandermonde行列式，得到

下一步必须解释这个分母为何就是钩积，不能只凭两个公式在若干例子中相同。

一行的钩长恰好删掉哪些数 ​

固定第$i$行，令$r_i(c)$为它下方长度至少为$c$的行数。第$c$格钩长为

从左向右，它严格下降。若某些下方行恰在第$c$列结束，$r_i(c)$到$r_i(c+1)$会下降；钩长序列就在这里跳过若干整数。恰有${\lambda }_j=c$的那些下方行$j$，对应跳过的数是

确实，这些$j-i$连续取$r_i(c+1)+1,\dots ,r_i(c)$，正好填满两相邻钩长之间缺失的整数。最后一格右边设一个值0，也把末尾的跳跃包括进去。因此本行的钩长集合恰是

缺失数互异，因为$l_j$严格递减。逐行相乘得到

代入式(4)即证明钩长公式。若为方便在下方补零行，式(5)仍成立。正长度的第$i$行若有$q$个零行在下方，最大的实际钩长比$l_i$小$q$；开头缺失的这$q$个数恰是那些零行对应的$l_i-l_j$。对一个零行，其$1,\dots ,l_i$则全部由下方零行对应的差值删掉，留下空钩集合。

重合变量的值由最低次数算出 ​

现在取$m\ge r$、$m\ge 1$，将形状补到$m$行，改令$l_i={\lambda }_i+m-i$。表权展开给$g_{\lambda }(m)=s_{\lambda }(1,\dots ,1)$。为了求这个值，不直接对交错商取$0/0$；在多项式恒等式中代入$x_a=1+t{y}_a$，比较$t$的最低非零次数。

对严格递减的非负指数$l_j$，由有限二项式展开理路二项式定理Binomial theorem(x+y)^n 按二项式系数展开为各次幂项之和。，

按列多线性展开，若两列选择相同的$k$，其向量相同，行列式为零。最小可用总次数因而是$K=0+1+\cdots +(m-1)$。把选择$0,\dots ,m-1$的所有排列合并，$t^K$系数是

对分母指数$m-j$做同样计算，两边共同的$y$行列式消去。后一个二项式行列式中，第$k$行是首系数$1/(k-1)!$的$k-1$次多项式；再次用Vandermonde化简，得到

这里比较的是有限多项式系数，不涉及解析收敛或交换极限。等式左侧来自$s_{\lambda }(1+ty)$的常数项；分母交错式恰含$t^K$，保证最低次数比较确实求出全1特化。

最后，逐行的钩内容分子为

再使用式(6)的补零版本，就将式(7)化为式(2)。$m<r$时双方均为零；空形状已单独处理，证明因此覆盖全部声明范围。

从表数走到词的形状计数 ​

式(1)、(2)只需遍历格子形成有限乘积。输入一份有效行长表后，可以先数每列高度，再在$O(N+r+1)$次整数算术内形成钩及内容因子；阶乘也以$O(N+1)$次乘法得到。采用约分或精确有理乘积，最后验证分母为1；位运算成本依赖这些整数的位长。

RSK词双射理路RSK 词插入与逆恢复Robinson-Schensted word correspondence · RSK word insertion · Schensted row insertion · 行插入与记录表固定严格大于的行插入与严格小于的逆撞规则，证明有限词和同形表对双射、内容保持及第一行最长弱递增长度，再计算指定形状的词纤维。把长度$N$、字母来自$[m]$的词对应到同形的半标准P与标准Q。于是指定形状$\lambda$的词数为$g_{\lambda }(m)f^{\lambda }$，主例给$15\cdot 35=525$。这个乘法的依据是两张表可独立选取后有唯一逆词，不是把两种数目恰好相乘的猜测。