Jacobi–Trudi 与表格权计数

形式陈述

同一个多项式的三份证书

固定有限变量 $x_1,\ldots,x_m$ ，先在 $\mathbb Q[x_1,\ldots,x_m]$ 中讨论。定义完全齐次多项式

h_k(x_1,\ldots,x_m)=\sum_{1\le a_1\le\cdots\le a_k\le m}x_{a_1}\cdots x_{a_k}\quad(k\ge1), \qquad h_0=1,\quad h_k=0\ (k<0).

例如 $h_2(x,y)=x^2+xy+y^2$ ，相等下标允许出现。 $m=0$ 时规定所有 $h_k$ 在 $k>0$ 时为零。它与只允许互异下标的基本对称式 $e_k$ 不同。

取分拆 $\lambda$ ，长度 $r$ 、大小 $N$ 。Schur多项式 $s_\lambda^{(m)}$ 仍采用既有交错商定义；半标准表仍采用行弱增、列严格增的约定。Jacobi–Trudi及表格展开给出

\boxed{ s_\lambda^{(m)}(x_1,\ldots,x_m) =\det\!\left(h_{\lambda_i-i+j}(x_1,\ldots,x_m)\right)_{1\le i,j\le r} =\sum_{T\in\operatorname{SSYT}_m(\lambda)}x^T. } \tag{1}

空形状采用零阶行列式1、唯一空表的权1。变量数 $m<r$ 时，右侧没有表，三者都为零。公式先是多项式恒等式，因此变量相等、为零或取负值时都可代入；只是负值代入后的权和不再是非负计数。

式(1)给每个单项式一个精确解释： $x_1^{a_1}\cdots x_m^{a_m}$ 的系数是内容恰为 $(a_1,\ldots,a_m)$ 的半标准表数。特别地，全取 $x_i=1$ 才得到允许 $m$ 个字母的总表数。总次数始终是 $N$ 。

直觉

$h_k$ 数一行的所有弱递增填法。若将各行独立填好，再相乘，列之间的不合法关系还没有被排除。行列式的其他置换项以正负号加入不同端点的路径组合，恰好把有相交的组合两两抵消；剩下的不交路径就强迫每一列严格增加。

这说明两个看起来相反的事实可以同时成立：计算公式包含减法，最后的多项式系数却都是非负整数。非负性不是因为每个行列式项都非负，而是因为抵消后存在一份不带符号的对象清单。

旧Schur页已经从交错性证明商是多项式。本页需要额外证明行列式和表权和确实等于那个商，不能另起一个同名定义后省掉两者的连接。

例子与边界

七格形状给出一个三阶行列式

对 $\lambda=(4,2,1)$ ，式(1)成为

s_{(4,2,1)}= \det\begin{pmatrix} h_4&h_5&h_6\\ h_1&h_2&h_3\\ 0&1&h_1 \end{pmatrix} =h_4(h_2h_1-h_3)-h_5h_1^2+h_6h_1. \tag{2}

左下角是 $h_{-1}=0$ ，其右侧是 $h_0=1$ ，两者不可混写。三变量全取1时， $h_k(1,1,1)$ 等于将 $k$ 分配给三个非负重数的方式数，即 $\binom{k+2}{2}$ 。因此

s_{(4,2,1)}(1,1,1) =15(6\cdot3-10)-21\cdot9+28\cdot3 =120-189+84=15.

在三个形式变量中，完整展开还可整理为

s_{(4,2,1)}(x,y,z) =m_{(4,2,1)}+m_{(3,3,1)}+2m_{(3,2,2)}, \tag{3}

其中 $m_\alpha$ 把指数 $\alpha$ 的所有不同排列对应的单项式各加一次。三项分别含6、3、3个不同单项式，故全1处是 $6+3+2\cdot3=15$ 。

例如内容 $(3,2,2)$ 的两张表为

\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\2&3&&\\3&&&\end{array} \qquad\text{和}\qquad \begin{array}{cccc}1&1&1&3\\2&2&&\\3&&&\end{array}.

两表有相同权 $x^3y^2z^2$ ，所以这个系数是2，不是1。式(3)也可直接由水平条链逐张汇总内容核验。

独立行数为何会过大

取 $\lambda=(1,1)$ 、两个字母。独立给两行各填一个数，共有 $h_1^2=(x+y)^2$ 这份权和，其中包括相等或上下反序的填法。式(1)却给

s_{(1,1)}=\det\begin{pmatrix}h_1&h_2\\1&h_1\end{pmatrix} =h_1^2-h_2=xy.

只有上格1、下格2留下。这里被减去的不是任意“修正项”，而是下一节可逆换尾所配对的相交路径。

若变量数少于行数，第一列无法严格填满，结果为零。若变量相等，旧交错商的分子分母可能同时为零，式(1)仍可直接求值。它消除了数值 $0/0$ ，却没有允许在未约分的商里直接除零。

推论与应用

先将完全齐次行列式接回交错商

在形式级数中，每个变量选择自己的出现重数，得到

\sum_{k\ge0}h_k z^k=\prod_{a=1}^m(1-x_a z)^{-1}. \tag{4}

先取 $m\ge r$ 、 $m\ge1$ ，并把 $\lambda$ 补到 $m$ 行。令

l_i=\lambda_i+m-i,\qquad D_a=\prod_{b\ne a}(x_a-x_b).

在形式变量的有理函数域中，部分分式给出

h_k=\sum_{a=1}^m\frac{x_a^{k+m-1}}{D_a}\qquad(k\ge0). \tag{5}

可直接验证各极点的系数：将式(4)右侧分解为 $\sum_a c_a/(1-x_a z)$ ，乘上 $1-x_a z$ 再置 $z=1/x_a$ ，得到 $c_a=x_a^{m-1}/D_a$ 。比较 $z^k$ 系数便得式(5)；这里所有除法都在有理函数域进行，没有先给 $x_a$ 指定相等的数值。

式(5)还适用于 $1-m\le k<0$ ，此时右侧为零。证明使用Lagrange插值：对 $0\le e<m-1$ ，把 $t^e$ 写成

t^e=\sum_{a=1}^m x_a^e \frac{\prod_{b\ne a}(t-x_b)}{D_a}.

比较 $t^{m-1}$ 系数即得 $\sum_a x_a^e/D_a=0$ 。这一步补齐负下标，不能只用非负 $h_k$ 的生成函数跳过它。

现在每个矩阵下标 $k=\lambda_i-i+j=l_i-m+j$ 都至少为 $1-m$ ，所以

(h_{\lambda_i-i+j})_{i,j=1}^m =(x_a^{l_i})_{i,a=1}^m \left(\frac{x_a^{j-1}}{D_a}\right)_{a,j=1}^m.

取行列式。第一因子是旧Schur分子的转置，行列式不变。记 $\Delta_m=\prod_{a<b}(x_a-x_b)$ ，则

\det\left(\frac{x_a^{j-1}}{D_a}\right) =\frac{(-1)^{m(m-1)/2}\Delta_m} {(-1)^{m(m-1)/2}\Delta_m^2} =\frac1{\Delta_m}.

因此乘积正是 $s_\lambda^{(m)}$ 。补零的末 $m-r$ 行在前 $r$ 列全为零，右下块上三角且对角为 $h_0=1$ ，故 $m$ 阶行列式等于式(1)的 $r$ 阶行列式。两边已经是多项式，有理函数域中的相等便证明了多项式相等。

$m<r$ 时，先在 $r$ 个变量证明，再把末 $r-m$ 个变量置零；旧Schur特化和 $h_k$ 都按同样规则降维，得到所需恒等式。 $m=0$ 且 $N>0$ 时，每个行列式乘积项的下标总和为 $N$ ，若不已含负下标零项，就必含一个正下标零项，所以结果也为零。

将行的弱递增填法画成有限格路

现在取 $m\ge1$ 。只许向东或向北走的格路，从

A_j=(-j,1)\quad\text{走到}\quad B_i=(\lambda_i-i,m).

水平步的高度若为 $a$ ，给它权 $x_a$ ；竖直步权1。一条路要走 $\lambda_i-i+j$ 个水平步，它们的高度依次弱增，范围为 $1,\ldots,m$ 。因此从 $A_j$ 到 $B_i$ 的全部路径权和恰是 $h_{\lambda_i-i+j}$ ；若水平步数为负，就没有路。

所有路径都在这些端点限定的有限矩形中，不能向后走，因此路径数有限。行列式的Leibniz展开便是：给各起点指定互异终点，对每组路径乘总权，再乘端点置换的正负号。

首次相交换尾为什么能完整抵消

给格点固定一个顺序：先按坐标和 $x+y$ 递增，同和时按 $x$ 递增。每条路径沿这个顺序严格前进。对含相交的路径组，选最早一个被至少两条路径经过的格点 $v$ ，再选经过它的编号最小两条路径，交换它们在 $v$ 之后的尾部。

交换后仍是合法路径，两个终点互换，所以置换符号变号；全部步的多重集合不变，所以总权不变。 $v$ 之前的各路径都不变， $v$ 处经过的路径编号也不变；新的尾部只经过更晚的格点，不能制造更早交点。因此再用同一规则会选同一 $v$ 和同一对路径，换回原组。这个映射是没有固定点的变号对合，恰好抵消所有相交组。

不相交组只能把 $A_i$ 连到 $B_i$ 。起点横坐标按 $i$ 严格递减，终点横坐标 $\lambda_i-i$ 也严格递减。两条不相交的单调路径在同一高度占据两个不交的水平区间；从一层升到下一层时，它们的左右顺序不能互换，否则在连接两层的竖直段或端点相交。因此起点和终点的左右顺序必须一致，端点置换只能是恒等。剩余组的符号全为正。

图用 $\lambda=(2,1)$ 的两条相交路展示配对。圆圈是证明所需的真实共享点；换尾后权仍为 $x_2^2x_3$ ，端点置换符号相反。

不相交恰好对应列严格

对于第 $i$ 条路，将其从左到右的水平步高度写入表的第 $i$ 行，自动得到行弱增，且总权是 $x^T$ 。只需检查相邻两行。

第 $i$ 行第 $k$ 步开始处的横坐标为 $k-i-1$ ；下一行第 $k$ 步结束处也在这一横坐标。若上格值严格小于下格值，前一路在这里的竖直段终点低于后一路竖直段起点，两者分开。对所有共有列都成立时，相邻两路始终分开，较远的路径也由左右次序分开。

反过来，取第一处违反 $T(i,k)<T(i+1,k)$ 的列 $k$ 。上一路在该横坐标的竖直段下端不高于下格值： $k=1$ 时它从高度1开始； $k>1$ 时，由前一列严格关系及下行弱增得到

T(i,k-1)<T(i+1,k-1)\le T(i+1,k).

其上端 $T(i,k)$ 又不低于下格值，所以该竖直段经过下一路第 $k$ 步的终点，两路相交。故不交与列严格准确等价。路径与表可以按每行水平步高度互相恢复，证明了式(1)最后一个等号。

有限求值与计数接口

在给定有理数 $x_1,\ldots,x_m$ 处，令 $K=\lambda_1+r-1$ 。可从 $h_0=1$ 、其他 $h_k=0$ 开始，依次读每个 $x_a$ ，按 $k=1,\ldots,K$ 递增更新 $h_k\leftarrow h_k+x_a h_{k-1}$ 。这是式(4)逐因子乘几何级数的截断递推。再形成 $r$ 阶矩阵求行列式，稠密精确域算术需 $O(mK+r^3)$ 次运算、 $O(K+r^2)$ 个数值槽；空形状或空变量表直接按前述边界返回。大整数位长以及符号多项式的单项式数不包含在这项域运算计数中。

钩式计数将进一步化简全1特化及平方自由系数。RSK词版本则用每份表的内容保持性，把式(1)的单项式系数变成词集合中指定形状的精确纤维大小。

参考资料

Darij Grinberg、Victor Reiner，Hopf Algebras in Combinatorics，2026-09-06修订，§2.2的完全齐次与表权定义、§2.4 Theorem2.4.6，印页57：Jacobi–Trudi；§2.6的交错商。本文限定直形，不把书中斜形版本一并承诺。
Darij Grinberg，Math 531 Winter 2024: Lecture diary，2024-03-15版，§4.4 Propositions4.4.7–4.4.8、Theorem4.4.10，印页167–169：多路换尾、端点顺序及带权抵消。本文明确给出规范最早交点和Young行路的坐标，补齐双向对应。

形式陈述 ​

同一个多项式的三份证书 ​

七格形状给出一个三阶行列式 ​

独立行数为何会过大 ​

先将完全齐次行列式接回交错商 ​

将行的弱递增填法画成有限格路 ​

首次相交换尾为什么能完整抵消 ​

不相交恰好对应列严格 ​

有限求值与计数接口 ​

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