从候选曲线到整段验证流管 ​

验证流管与集合传播路线在这里交付三份不同的证书：连续轨道的残差管、耦合非线性系统的有限步包围，以及不确定旋转传播中的相关性保留。

下载公开核验程序和完整结果JSON。程序仅用Python标准库与Fraction有理运算；不指定输出路径时打印JSON，也可用--output result.json保存。python -O仍执行全部显式检查。解析真解只用于最后独立对照，不参与Taylor步的验收。

任务一：非正规耦合中的一根闭合误差管 ​

在 $0\le t\le 4$ 上，给出系统

$$\begin{array}{rl}{x}_1^{\prime }& =-2x_1+8x_2-x_1^3+q_1(t),\\ x_2^{\prime }& =-2x_2-x_2^3+q_2(t),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{rl}{q}_1(t)& =\frac{99}{1000}+\frac{t}{5}-\frac{2t^2}{5}+\frac{t^3}{1000},\\ q_2(t)& =-\frac{1}{2000}+\frac{t}{10}+\frac{t^2}{10}+\frac{t^6}{8000}.\end{array}$$

初值不是一个点，而是

$$X_0=[-1/125,1/125]\times [-1/1000,1/1000].$$

候选轨道为 $z(t)=(t/10,t^2/20)$。请证明全部初值的解存在到四，给整个窗口的分量误差界，并交出不含未认证小数的终点盒。

先计算真正的缺陷 ​

逐项代入，两个三次项与强迫多项式的相应项消去，得到

$$z^{\prime }-f(t,z)=(1/1000,1/2000).$$

采用固定权重 $w=(8,1)$ 的无穷范数，初值半径为 $r_0=1/1000$，残差界为

$$\delta =max(\frac{1/1000}{8},\frac{1}{2000})=\frac{1}{2000}.$$

不能只对状态换尺度而仍用未缩放的残差。

Jacobian为

$$J(x)=\left(\begin{array}{cc}-2-3x_1^2& 8\\ 0& -2-3x_2^2\end{array}\right).$$

加权对数范数理路对数范数与瞬时增长界Logarithmic norm · Matrix measure从单位映射的单侧增率定义带符号的矩阵增长量，证明常用公式与最小指数传播界，并追踪换尺度的代价。逐行给

$${\mu }_w(J)=max(-1-3x_1^2,-2-3x_2^2)\le -1.$$

这个界对全部实状态成立，所以自然覆盖工作管，并非仅在中心曲线上抽样所得。

用严格余量排除出管和提前停止 ​

取工作半径 $\rho =1/500$。后验误差管定理理路后验 ODE 误差管与延拓证书A posteriori ODE tube · Validated defect bound for ODE用整条管内的Jacobian增长界和连续候选轨道的残差，认证全部允许初值的真实解存在到终点且留在显式误差管内。的半径为

$$R(t)=\frac{1}{2000}(1+e^{-t})\le \frac{1}{1000}<\frac{1}{500}.$$

工作管在有限时间窗口内是紧集，向量场为多项式，故存在与延拓条件齐备。因此对全部 $\xi \in X_0$，

$$\begin{array}{}\text{(1)}& |x_1(t;\xi )-t/10|\le 8R(t),|x_2(t;\xi )-t^2/20|\le R(t).\end{array}$$

第一分量的八必须保留。用原无穷范数得到的粗增长上界为六，虽然也可靠，却无法给同样紧的误差结论；负特征值本身也没有替代这些范数和残差计算。

最后用纯有理部分和

$$e^4>\sum _{k=0}^7\frac{4^k}{k!}=\frac{16319}{315}>50,$$

得到 $R(4)<51/100000$。于是可交付闭盒

$$\boxed{{\displaystyle x_1(4)\in [4949/12500,5051/12500],x_2(4)\in [79949/100000,80051/100000].}}$$

它的包含性来自解析半径加有理指数下界，未依赖绘图或参考求解器。

任务二：耦合多项式初值集的八步证书 ​

现在处理另一个系统

$$\begin{array}{}\text{(2)}& u^{\prime }=u^2,v^{\prime }=uv,(u(0),v(0))\in [1,101/100]\times [2,201/100].\end{array}$$

固定 $h=1/16$、八步到 $T=1/2$，Taylor阶数取六。每个保存端点都向外舍入到分母 ${10}^{12}$ 的有理网格。请维护全部原始初值的解包含，并拒绝缺步、假余项或过小工作盒的证书。

系数由方程递推，不从精确解读入 ​

若归一化时间系数为 $u_k,v_k$，则

$$\begin{array}{}\text{(3)}& u_{k+1}=\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k{u}_j{u}_{k-j},v_{k+1}=\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k{u}_j{v}_{k-j}.\end{array}$$

初始系数为当前初值变量。归纳可得 $F_k(u,v)=(u^{k+1},v{u}^k)$；程序先用式(3)的区间卷积生成，再单独与这个闭式恒等式对照。

设当前保存盒为 $X_n=[{\ell }_{n,1},b_{n,1}]\times [{\ell }_{n,2},b_{n,2}]$。本题提出

$$B_n=\prod _{i=1}^2[9{\ell }_{n,i}/10,3b_{n,i}/2].$$

必须实际核验

$$\begin{array}{}\text{(4)}& X_n+[0,1/16](B_{n,1}^2,B_{n,1}{B}_{n,2})\subset \mathrm{int}{B}_n.\end{array}$$

第一步上端的核验例如是

$$\frac{101}{100}+\frac{1}{16}{\left(\frac{303}{200}\right)}^2<\frac{303}{200},$$

第二分量也按本行当前上端与两个工作上端相乘；下端因向量场在这里为正，等于当前下端，严格高于工作下端。后续各步重新检查，不以第一步通过代替。

全步包围理路验证 Taylor 步与全步包围Validated Taylor integration step · Interval Taylor method for ODE先用严格包含认证全步轨道盒，再计算有限Taylor端点包围，逐步维护全部初值解的包含不变量并显式报告拒绝或未决。通过后，用六阶系数和 $B_n$ 上的七阶归一化系数取余项。输出盒向外舍入到固定有理网格，再作为下一步输入；这次舍入增宽被显式保留。

完整终点与独立对照 ​

八步全部严格包含通过，最终实际保存为

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}{U}_8& =[\frac{1999999411557}{{10}^{12}},\frac{2040428251909}{{10}^{12}}],\\ V_8& =[\frac{3999998823119}{{10}^{12}},\frac{4060654243891}{{10}^{12}}].\end{array}\end{array}$$

所以也可交付更易读的外包盒

$$u(1/2)\in [199999/100000,4081/2000],v(1/2)\in [399999/100000,40607/10000].$$

完整JSON列出八行的时刻、起始盒、工作盒、积分像、余项系数和输出盒。复核器重新计算每一项，并检查网格无缺口、前一输出等于后一输入、最终时刻恰为 $1/2$。

事后解式(2)可得

$$u(t)=\frac{u_0}{1-t{u}_0},v(t)=\frac{v_0}{1-t{u}_0}.$$

在本题正初值范围及时间窗口内，各表达式对相应初值单调。因此真实终值范围为 $[2,202/99]\times [4,134/33]$，位于式(5)内。这个对照检查证书的结果；即使没有精确解，先前八步包含证明仍然完整。

损坏证书必须被拒绝 ​

公开核验器还分别测试：删去最后一步；改动第三步时刻制造缺口；把第一步 $u$ 工作上端缩为 $21/20$；将一份七阶余项盒伪造为零；把最终 $u$ 上端改为二；在固定二维模型的输出中塞入第三坐标。六种情况分别破坏维度合同、时间覆盖、整步存在或端点包含，均不得输出“已认证到终点”。

在更难的方程上，候选工作盒可能不通过。允许缩步并生成新证书，但不能把无穷缩步或预算耗尽写成完成。保存的最后认证时刻仍是有用输出。

任务三：同一组旋转误差的两种表示 ​

取有理旋转

$$R=\left(\begin{array}{cc}3/5& -4/5\\ 4/5& 3/5\end{array}\right),\epsilon =1/100,\delta =1/10000,$$

并考虑20步集合递推

$$\begin{array}{}\text{(6)}& X_0=[-\epsilon ,\epsilon {]}^2,X_{n+1}=R{X}_n+[-\delta ,\delta {]}^2.\end{array}$$

这里每步的新误差可以独立取值，是明确的集合合同。它可用于认证线性旋转流一步逼近的误差传播，但必须先由相应积分器证明局部余项不超过这个误差盒。

逐步盒化得到巨大而可靠的范围 ​

若每次只保存轴平行盒，则半径满足

$$b_{n+1}=\frac{7}{5}{b}_n+\delta ,b_n={\left(\frac{7}{5}\right)}^n\epsilon +\frac{5}{2}\delta [{\left(\frac{7}{5}\right)}^n-1].$$

因此

$$b_{20}=\frac{408923443846306427}{47683715820312500}>8.$$

这是每个坐标的半径，而非直径。由于更新都是可靠外包运算，大并不意味着证书失效，只意味着它无法满足一个小容差。

保留旋转坐标 ​

保存 $C_n=R^n$，取 $c_n=0$。坐标集合传播理路包裹效应与坐标流集合传播Wrapping effect in validated integration · Coordinate flow enclosure定量解释反复轴平行盒化的额外扩张，并用可逆坐标与显式余项维护流集合包含，区分舍入、局部误差和几何信息损失。令

$$r_{n+1}=r_n+|(R^{n+1}{)}^{-1}|(\delta ,\delta {)}^{\mathsf{T}},r_0=(\epsilon ,\epsilon ).$$

由于旋转矩阵每行绝对值和至多 $\sqrt{2}<3/2$，每个坐标半径满足

$$(r_{20}{)}_i\le \epsilon +20\cdot \frac{3}{2}\delta =\frac{13}{1000}.$$

报告原坐标时还需乘 $|R^{20}|$，故

$$\begin{array}{}\text{(7)}& |(x_{20}{)}_i|\le \frac{3}{2}\frac{13}{1000}=\frac{39}{2000}<\frac{1}{50}.\end{array}$$

这样同样的20步不确定模型得到了半径小于 $1/50$ 的证书，没有删掉任何一步扰动。

程序逐步验证 $Q^{-1}Q=Q{Q}^{-1}=I$ 以及 $Q^{-1}R{C}_n=I$。对式(6)的精确Minkowski和，轴方向上的真实最大值还可从

$$|R^{20}|(\epsilon ,\epsilon {)}^{\mathsf{T}}+\sum _{j=0}^{19}|R^j|(\delta ,\delta {)}^{\mathsf{T}}$$

直接计算，作为第三条独立对照。它不要求枚举所有误差组合，也不把坐标盒误当成精确可达集合。

最后将某一传播主矩阵换成非线性剪切 $(x_1,x_2)\mapsto (x_1+x_2^2,x_2)$。以初值正方形半径 $\epsilon$ 为例，应加入第一分量的 $[0,{\epsilon }^2]$ 余项；移动中心到 $({\epsilon }^2/2,0)$ 后得到半径 $(\epsilon +{\epsilon }^2/2,\epsilon )$。只旋转或更新线性矩阵而遗漏这项，会失去包含性。

最终交付 ​

请同时交付三个证明对象：整管Jacobian与残差的解析界，八行可重放的严格整步证书，以及20步坐标和误差盒更新。再说明哪一步负责存在，哪一步负责误差大小，哪一步仅减少表示带来的额外扩张。

公开程序中的有限网格诊断用于发现实现错误；全称包含分别由误差管定理、积分Taylor余项和坐标集合恒等式承担。提高数值精度不能补上漏掉的时间段、未检查的工作管或被删除的非线性余项。