后验 ODE 误差管与延拓证书

形式陈述

画出一条近似轨道 $z(t)$ 后，能否证明真解在整个时间窗口内都离它不远？答案需要同时管住方程缺陷、误差传播和解是否存在，不能先假设真解已经留在待证明的区域。

x'=f(t,x),\qquad x(a)=\xi,\qquad a<T.

设 $f$ 定义在开集 $D\subset\mathbb R\times\mathbb R^d$ 上， $f$ 与状态Jacobian $D_xf$ 联合连续。固定一个向量范数及其对数范数 $\mu$ 。给定候选 $z\in C^1([a,T],\mathbb R^d)$ 、连续正函数 $\rho$ ，要求闭管

K=\{(t,y):a\le t\le T,\ \|y-z(t)\|\le\rho(t)\} \tag{1}

是 $D$ 的紧子集。初值集合 $X_0$ 满足 $\|\xi-z(a)\|\le r_0$ ，其中 $0\le r_0<\rho(a)$ 。

设已证明连续函数 $m:[a,T]\to\mathbb R$ 、 $\delta:[a,T]\to[0,\infty)$ 满足

\begin{aligned} \mu(D_xf(t,y))&\le m(t) &&((t,y)\in K),\\ \|z'(t)-f(t,z(t))\|&\le\delta(t) &&(a\le t\le T). \end{aligned} \tag{2}

$m$ 可以为负。令

M(t)=\int_a^t m(s)\,ds,\qquad R(t)=e^{M(t)}r_0+\int_a^t e^{M(t)-M(s)}\delta(s)\,ds. \tag{3}

若整个区间上都有可检查的严格余量

\boxed{R(t)<\rho(t)\qquad(a\le t\le T),} \tag{4}

则对每个 $\xi\in X_0$ ，初值问题存在唯一解到 $T$ ，且

\boxed{\|x(t;\xi)-z(t)\|\le R(t),\qquad a\le t\le T.} \tag{5}

结论同时覆盖全部允许初值，不只某个采样初值。式(2)第一行必须在管内所有状态成立，第二行则沿候选中心曲线计算。

常数输入时直接复算

若 $m,\delta$ 为常数，写 $\tau=t-a$ ，则

R(t)= \begin{cases} e^{m\tau}r_0+\delta\dfrac{e^{m\tau}-1}{m},&m\ne0,\\[4pt] r_0+\delta\tau,&m=0. \end{cases} \tag{6}

$m<0$ 时，持续缺陷的贡献趋向 $\delta/|m|$ ，而不会指数增长。式(6)只是误差半径的公式；还需验证式(4)，以及输入界确实覆盖式(1)的整条管。

直觉

可以先在候选轨道周围放一根足够宽的“工作管”。在这根管里计算最坏增长量，然后用残差算出一根更细的“误差管”。若细管始终严格包含在工作管内部，真解就无法成为第一个走出工作管的轨道。

工作管承担的是空间条件，误差管承担的是结论。把两根管混成一根，容易出现循环论证：因为真解离得近，所以Jacobian有界；又因为Jacobian有界，所以真解离得近。严格余量将这两个方向接起来。

从向量误差到标量半径

局部存在唯一性先给出每个初值附近的解。只在它还留在工作管时，令

e=x-z,\qquad r=z'-f(t,z),\qquad B(t)=\int_0^1D_xf(t,z+\theta e)\,d\theta.

球是凸集，故整条线段 $z+\theta e$ 仍在同一截面的管内。沿线段积分导数给

e'=B(t)e-r(t),\qquad \mu(B(t))\le\int_0^1\mu(D_xf(t,z+\theta e))\,d\theta\le m(t). \tag{7}

中间一步使用对数范数的凸性，而不是只在未知真解端点代入一个Jacobian。

对正 $h$ ，由可微性

e(t+h)=(I+hB(t))e(t)-hr(t)+o(h).

取范数、减去 $\|e(t)\|$ 并除以 $h$ ，得到上右导数估计

D^+\|e(t)\|\le m(t)\|e(t)\|+\delta(t). \tag{8}

这里 $D^+u(t)=\limsup_{h\downarrow0}(u(t+h)-u(t))/h$ ，只用于说明范数在零点或折角处也可处理。

在解存在的任何紧子区间上， $e$ 为 $C^1$ ，其范数是Lipschitz函数，因而绝对连续。式(8)在普通导数存在处成立。用带符号微分不等式的积分因子，对 $E=\|e\|$ 积分

(e^{-M}E)'\le e^{-M}\delta

便得 $E(t)\le R(t)$ 。无需假设范数处处可微，也无需把负的 $m$ 换成零。

首次出管与有限端点

若解在某个最早时刻 $t_*$ 碰到工作管边界，则在之前的区间上已有 $E\le R$ 。连续性给

\rho(t_*)=E(t_*)\le R(t_*)<\rho(t_*),

矛盾。因此只要解存在，它就不会出管。

还须排除“解没出管，却在 $T$ 前停止存在”。若最大存在区间的右端 $b\le T$ 有限，轨道在紧集 $K$ 内； $f$ 在这里有统一上界，积分式使 $x(t)$ 当 $t\uparrow b$ 时具有有限极限。极限点仍在 $D$ 内，局部存在定理可从该点续接，且唯一性保证与原轨道相接。这与最大性矛盾。于是解确实延续到 $T$ ，而不是仅在一个事先未知的短窗口满足式(5)。

例子与边界

一条非线性轨道，无需知道精确解

在 $0\le t\le2$ 上考虑

x'=-x-x^3+\frac{1+t}{10},\qquad x(0)\in[-1/100,1/100]. \tag{9}

取候选 $z(t)=t/10$ 。代回方程得

r(t)=z'-f(t,z)=\frac{t^3}{1000},\qquad |r(t)|\le\frac1{125}.

标量Jacobian为 $-1-3x^2\le-1$ ，所以可取 $m=-1$ 。选择常数工作半径 $\rho=1/50$ 、初值误差 $r_0=1/100$ ，则

R(t)=\frac1{125}+\frac1{500}e^{-t} \le\frac1{100}<\frac1{50}.

式(4)有至少 $1/100$ 的余量。于是全部允许初值的解存在到二，并落在

\frac t{10}-R(t)\le x(t)\le\frac t{10}+R(t).

特别是 $x(2)$ 落在以 $1/5$ 为中心、半径 $1/125+e^{-2}/500$ 的区间内。这份证书只用了多项式代入、全区间单调界和标量指数，没有把另一个数值解当作真解。

只检查中心Jacobian会漏掉什么

对 $x'=x^2$ ，取 $z=0$ 、初值 $x(0)=1/10$ 。中心的Jacobian为零，但真实解是

x(t)=\frac{1/10}{1-t/10}.

若误用 $m=0$ 、 $\delta=0$ ，就会给出恒定误差 $1/10$ ，与任何正时间的真解矛盾。

正确地在工作管 $|y|\le1/4$ 上取 $m=\sup 2y=1/2$ ，得到 $R(t)=e^{t/2}/10$ 。对 $T=1$ ， $e^{1/2}<2$ ，故 $R<1/5<1/4$ ，认证成功。对 $T=2$ ， $R(2)=e/10>1/4$ ，同一证书失败；但真实终值仅为 $1/8$ ，仍在工作管内。失败只表示这组界没有闭合，不表示解不存在或必已逃出。

小残差不约束漏掉的初始条件

即使 $r\equiv0$ ，两条不同初值的精确轨道也可能不同。式(3)的初值项不能省略。同样，只在若干时间点看到残差小，不能推出连续区间上的第二行式(2)；采样间可能有窄峰，必须有覆盖整段的导数、区间或多项式界。

推论与应用

将有限数据交给复核器

实际证书可以把时间分成有限多个闭区间。每段保存候选多项式、工作半径、初值半径，以及可靠的残差和Jacobian界。用区间包含运算在时间子区间与状态管的外包盒上评估，才能支持式(2)的全称量词；扩大到盒可以变松，但不能漏掉工作管。

例如采用固定加权无穷范数时， $\|y-z(t)\|_w\le\rho$ 等价于逐分量 $|y_i-z_i(t)|\le w_i\rho$ 。对区间Jacobian，保留对角上端点、对非对角项取最大绝对值，再按 $w_j/w_i$ 加权，可以直接构造 $m$ 。指数和式(6)的机器值也要用可靠外包络，不能把最近舍入的小数当作严格余量。

候选若连续且逐段 $C^1$ ，在每段应用定理，将前段的末端半径作为下一段的初值界即可。若候选在连接点换中心产生跳跃 $\Delta z=z_+-z_-$ ，真实解仍连续，新的起始半径至少取

r_{\mathrm{new}}\ge R_-+\|\Delta z\|.

不记录这次中心移动，就会丢失一部分误差。不同范数或权重的段间切换也要显式换算半径。

验收状态有明确含义

只有全部时间段连续覆盖 $[a,T]$ ，每段式(1)–(4)均通过，才能返回“已认证到 $T$ ”。某段管宽不足、区间界太松、指数上界超预算或时间覆盖有缺口时，应返回未决区间和最后认证时间。缩步、换中心、改善尺度或提高精度可能修复失败，但一般不保证搜索总会成功。

这与局部误差阶及嵌入式误差估计配合使用：已有求解器负责提出便宜的候选轨道，本页负责检查一份全时段缺陷证书。候选怎样算出，不影响已经完整通过的包含证明；候选算得很精细，也不能代替该证明。

若模型读入过去状态，残差仍可作证据，但误差传播还须保留整个历史。延迟耗散比较在全局适用的标量线性模型中给出持续缺陷底线，连续延迟残差检查还须在平移后的旧节点处分段。这里的全局存在条件不能被只有当前中心曲线的局部Jacobian采样替代。

参考资料

Ordinary Differential Equations，Uppsala大学课程存档的数值方法第13章章节稿，§13.1.3 Lemma 13.1.7、§13.1.5 Theorems 13.1.22–13.1.23，章内pp.13–14、27–29：Jacobian平均及缺陷控制。本页另明确紧管延拓与整窗口严格余量。
N. S. Nedialkov、K. R. Jackson、G. F. Corliss，“Validated Solutions of Initial Value Problems for Ordinary Differential Equations”，Applied Mathematics and Computation 105 (1999), pp.21–68。作者1997技术报告入口，§§3–5：先验证存在和全步包围，再细化端点的接口。目录中该报告文件名为 vsode.97.ps.gz。

形式陈述 ​

常数输入时直接复算 ​

从向量误差到标量半径 ​

首次出管与有限端点 ​

一条非线性轨道，无需知道精确解 ​

只检查中心Jacobian会漏掉什么 ​

小残差不约束漏掉的初始条件 ​

将有限数据交给复核器 ​

验收状态有明确含义 ​

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