Halanay 不等式与延迟误差底线

形式陈述

普通微分比较只看到当前y(t)，延迟反馈还会把已经过去的一段大值重新带回来。设τ>0，y在[−τ,T]上非负连续，在[0,T]上绝对连续。给常数

a>b\ge0,\qquad \eta\ge0,

并假设几乎处处有

y'(t)\le-ay(t)+b\max_{t-\tau\le s\le t}y(s)+\eta. \tag{1}

a是当前耗散，b是历史反馈的上界，η是持续输入。记

M=\max_{[-\tau,0]}y,\qquad F=\frac{\eta}{a-b},\qquad C=(M-F)_+=\max(M-F,0).

任取λ>0满足

\boxed{\lambda+b e^{\lambda\tau}\le a,} \tag{2}

则整个正时间窗口都有

\boxed{y(t)\le F+C e^{-\lambda t}.} \tag{3}

只要a>b就能选出这样的正λ：函数λ+b e^{λτ}连续严格增加，零点处为b<a，并趋于无穷，由介值定理及严格单调性，它与a有唯一正交点λ₀。任意0<λ≤λ₀都有效；b=0时λ₀=a。无需为了使用式(3)先求出某个特殊函数的值。

持续输入为零时F=0，式(3)化为M e^(−λt)。η>0时它只保证趋近不超过F的误差底线，并不声称y趋于零。M<F时右侧是常数F，允许开始时已有富余；这是统一上界，不是y(0)的精确值。

直觉

耗散a只拉低当前值，历史最大值可能暂时停在早先较高的水平。因此延迟越长，同一条候选指数曲线回看过去时越高，补偿因子正是e^(λτ)。式(2)要求当前耗散同时支付目标衰减λ和这份放大的过去反馈。

扰动底线来自常数平衡：−aF+bF+η=0。把它从指数部分中分离后，可以看清“初始历史误差逐渐消退”和“持续残差不断注入”这两笔费用。直接用a代替a−b作分母，会漏掉反馈重新注入的部分。

完整比较，不只检查首次相碰的斜率

在整个[−τ,T]上定义w(t)=F+C e^(−λt)。它非增，初始历史上w≥F+C≥M，并且

\max_{t-\tau\le s\le t}w(s)=w(t-\tau).

式(2)给出

w'(t)=-\lambda C e^{-\lambda t} \ge-aw(t)+bw(t-\tau)+\eta. \tag{4}

因此w是上解。下面验证y不能超过它，即使y只几乎处处可导。令d=y−w；两个窗口最大值之差至多该窗口内d的最大值，所以

d'(t)\le-ad(t)+b\max_{t-\tau\le s\le t}d(s)

几乎处处成立。由绝对连续性乘积分因子并积分，且d(0)≤0，

d(t)\le b\int_0^t e^{-a(t-s)} \max_{s-\tau\le u\le s}d(u)\,ds.

令Z(t)=max_{−τ≤u≤t}(d(u))₊。连续性使Z连续，历史部分为零；a>0使指数因子不超过一。于是

(d(t))_+\le b\int_0^t Z(s)\,ds, \qquad Z(t)\le b\int_0^t Z(s)\,ds.

零初值Grönwall比较给Z=0，即式(3)。这个证明保留了整个过去窗口，没有把d(t−τ)错误替换成d(t)，也不依赖“相碰点导数相等就永远不能穿过”的不完整论证。

例子与边界

一个不需求根器的衰减率证书

取a=3、b=1、τ=3/5。λ=1可用，因为e^(3/5)<2。例如展开到三次项，并用后续项比值至多3/25，得到有理上界

e^{3/5} \le1+\frac35+\frac9{50}+\frac9{250} +\frac{27/5000}{1-3/25}<2. \tag{5}

因而1+e^(3/5)<3，仍有严格余量。若初始历史界M=3/100、持续输入η=1/250，则F=1/500、C=7/250，故

y(t)\le\frac1{500}+\frac7{250}e^{-t}. \tag{6}

这些数针对所有满足式(1)的函数，不是只检查某条曲线上的有限采样点。

过去窗口不会立刻按同一指数缩小

若目标是整段当前历史，而非当前端点，还要回看τ时间。式(3)和原始历史界共同给

\boxed{\max_{t-\tau\le s\le t}y(s) \le F+C e^{-\lambda\max(t-\tau,0)}.} \tag{7}

t<τ时窗口仍含最初历史，所以不能直接用F+C e^(−λt)。η=0时，也可把式(7)放大为e^(λτ)M e^(−λt)，获得同一历史范数下的指数稳定常数。这个前因子有明确来源。

条件失败不等于某个特定系统失稳

若把上例τ改为1，原λ=1不再通过：1+e>3。但λ=1/2仍可行，因为e^(1/2)<2，故1/2+e^(1/2)<3。延迟变大需要重新计算认证速率，并没有从这一次拒绝推出不稳定。

a>b也不能从本定理中删去。η=0、a=b时，任意正常数y都满足等号，却不衰减；a<b时，定义y(t)=e^((b−a)t)于整个历史和未来，窗口最大值恰为当前值，它满足等号并增长。η>0时，y≡F则达到式(3)的底线，所以一般不能降低该常数。

若只知道连续y而没有足以积分导数的条件，几乎处处的导数不等式可能漏掉奇异增长。这里使用绝对连续函数类，不能把“导数几乎处处存在”单独替代它。

推论与应用

将连续近似的残差变成延迟解误差

考虑已由历史初值与分步构造保证存在的标量线性模型

x'(t)=-a x(t)+\beta x(t-\tau)+p(t), \qquad a>|\beta|. \tag{8}

给一条在[−τ,T]上连续、正时间逐段C¹的候选v，定义其几乎处处残差

r(t)=v'(t)+av(t)-\beta v(t-\tau)-p(t). \tag{9}

假设整段历史误差不超过M，且整个计算窗口的残差本质上确界不超过η。令e=x−v；两式相减得e′=−ae+βe(t−τ)−r。在e≠0处乘sign(e)，得到

(|e|)'\le-a|e|+|\beta|\,|e(t-\tau)|+\eta.

|e|绝对连续，并在其零水平集上导数几乎处处为零，因此同一不等式几乎处处有效。用b=|β|代入式(3)，便有

|x(t)-v(t)|\le\frac\eta{a-|\beta|} +\left(M-\frac\eta{a-|\beta|}\right)_+e^{-\lambda t}. \tag{10}

历史完全匹配时，M=0，简单而全时段有效的上界是η/(a−|β|)。它可能在起点很松，却不会随终点指数爆炸。非线性模型若有相应的单边耗散与延迟Lipschitz估计，也可先独立导出式(1)；仅有某条数值轨迹附近的系数猜测不足以满足这一步。

误差界要求连续区间上的η。连续Euler残差复核将原网格与平移后的旧网格合并，对每段残差多项式检查端点及内部驻点；只在Euler更新点看到零残差不能认证式(9)。

参考资料

István Győri、László Horváth，“Sharp estimation for the solutions of inhomogeneous delay differential and Halanay-type inequalities”，Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2018，No.54，pp.1–4：非齐次上确界不等式、局部绝对连续解类及Theorem A。本文限定常系数和固定历史长度，直接证明式(3)，不援用一般变系数的更强结论。
Aristide Halanay，Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Lags，Academic Press，1966，为该不等式的原始专著出处；本单元未取得原书全文，实际核读使用前一篇论文与正文证明。

形式陈述 ​

完整比较，不只检查首次相碰的斜率 ​

一个不需求根器的衰减率证书 ​

过去窗口不会立刻按同一指数缩小 ​

条件失败不等于某个特定系统失稳 ​

将连续近似的残差变成延迟解误差 ​