连续 Euler 延迟方法与残差证书

形式陈述

x'=f(t,x,x(t-\tau)),\qquad x|_{[-\tau,0]}=\phi. \tag{1}

输入包含连续历史φ、有限终点T、网格0=t₀<⋯<t_N=T及求值预算。本页采用0<h_n=t_{n+1}−t_n≤τ。先令v=φ于[−τ,0]、v₀=φ(0)，再以前向Euler斜率构造

\begin{aligned} z_n&=v(t_n-\tau),\\ k_n&=f(t_n,v_n,z_n),\\ v(t)&=v_n+(t-t_n)k_n\quad(t_n\le t\le t_{n+1}),\\ v_{n+1}&=v_n+h_nk_n. \end{aligned} \tag{2}

当s=t_n−τ≤0时，查询原始历史φ(s)；当s>0时，找到t_j≤s≤t_{j+1}，使用

v(s)=(1-\alpha)v_j+\alpha v_{j+1}, \qquad \alpha=\frac{s-t_j}{t_{j+1}-t_j}. \tag{3}

零点及公共节点的两种表示必须相同。式(2)规定一条连续函数：输出、下一次延迟查询和残差检查都使用它，不能在三个位置采用三种插值方式。

因果性与停止状态

构造第n段前，v已知到t_n。τ>0保证斜率查询t_n−τ<t_n；h_n≤τ还使整段内的t−τ不超过t_n。这项步长限制便于逐段处理历史，不是声称左端显式Euler在h_n>τ时必然无法计算。

每一步保存时间、状态、斜率及延迟查询落在哪个历史区间。有限N步全部完成才返回“候选已到T”。原历史不可查询、节点重复或逆序、计算值非有限、预算耗尽时应返回相应失败；未完成的候选不能被补画成一条已经认证的全程轨道。随后独立的残差检查才决定是否具有指定误差保证。

直觉

延迟一般不等于整数个数值步长。把τ/h四舍五入，会把方程的物理延迟改掉；保留时间并查询折线，才是在同一方程中逼近过去的真实状态。

残差不是只在原节点变化。随着t向前，t−τ也会越过某个旧节点，延迟折线的斜率在那里改变。因此检查区间要同时看原网格与平移了τ的旧网格。忽略后一组切点，就可能把两个不同多项式误认为一个。

一般有限窗误差

设f满足前页全局存在条件，并在[0,T]上有两个状态Lipschitz常数Lₓ,L_z，令L=Lₓ+L_z。允许候选的初始历史是另一连续ψ，最大历史误差为M₀；候选在正时间连续、有限分段C¹。定义几乎处处残差

r(t)=v'(t)-f(t,v(t),v(t-\tau)),\qquad \mathop{\rm ess\,sup}_{0\le t\le T}\|r(t)\|\le\eta. \tag{4}

比较真解与候选的积分式，以E(t)=max_{−τ≤s≤t}‖x(s)−v(s)‖，得到

E(t)\le M_0+\int_0^t(LE(s)+\eta)\,ds.

积分比较于是给

E(t)\le \begin{cases} M_0e^{Lt}+\eta(e^{Lt}-1)/L,&L>0,\\ M_0+\eta t,&L=0. \end{cases} \tag{5}

这是全连续窗口的界，包含节点之间的输出。真解的存在已经由f的全局条件保证；若只有局部状态范围，必须另证误差管留在有效域，不能先假设真解没有离开。

什么时候确实有一阶收敛

只说“用的是Euler”还不够。假设历史φ为Kφ-Lipschitz，f在所需有限状态范围内对时间也为L_t-Lipschitz，并有上述全局状态常数。令M=max‖φ‖，c=max_{[0,T]}‖f(t,0,0)‖。

延迟插值是已知节点的凸组合，所以运行最大状态满足B_{n+1}≤(1+Lh_n)B_n+ch_n。离散乘积估计给所有节点及折线值

\|v\|\le B=(M+cT)e^{LT}.

故全部斜率有统一界S=c+LB，整个历史加折线是K=max(Kφ,S)-Lipschitz。对第n段，用式(2)的斜率减去当前右端，得

\|r(t)\| \le(L_t+L_xS+L_zK)h_n. \tag{6}

将最大步长h乘这个常数作为η、M₀=0代入式(5)，就在固定T上得到O(h)误差。这里不要求全轨道C²，但明确要求历史和右端的这组Lipschitz条件。仅给任意连续历史时，式(6)的线性模不一定存在，不能不加条件地保留同一个一阶结论。

例子与边界

一个不与延迟对齐的有理网格

取τ=3/5、h=1/4，方程及历史为

x'=-3x+x(t-3/5)+p(t),\qquad p(t)=2t^2+\frac{16}{5}t-\frac9{25}, \qquad \phi(s)=s^2. \tag{7}

直接代入可验证真解是x(t)=t²，但实际误差证书不使用这个答案。前两次斜率为k₀=0、k₁=11/16，于是v₁=0、v₂=11/64；第三次k₂=79/64，v₃=123/256。

到t₄=1时，延迟查询s=2/5在[1/4,1/2]内，α=3/5，故

v(2/5)=\frac25v_1+\frac35v_2=\frac{33}{320}. \tag{8}

若只取左节点v₁=0，后续更新就变成另一算法。这个差别不是小数舍入，而是遗漏了明确定义的插值项。

全段残差可以用有限有理数认证

对式(7)，候选每段仿射，原始历史二次。将全部原节点、内部的t_j+τ以及历史接缝τ排序合并。每个所得开区间内，v′固定，v(t)仿射，v(t−τ)使用一个固定的历史多项式或仿射段，所以

r(t)=v'(t)+3v(t)-v(t-\tau)-p(t) =A+Bt+Ct^2. \tag{9}

一个二次多项式在闭区间上的绝对值最大值，只需检查两个端点和位于内部的驻点−B/(2C)；C=0时只检查端点。可由配方或单调区间直接证明。节点上v′可能不存在，检查两侧多项式的端点极限，便覆盖残差的本质上确界。

在[0,2]上，原八步连同平移切点给14段。例如[0,1/4]上r=−2t−3t²，最大绝对值为11/16；[1/2,3/5]上

r(t)=-\frac{13}{128}+\frac{109}{64}t-3t^2,

而紧邻的[3/5,3/4]变成

r(t)=\frac{827}{3200}+\frac{161}{320}t-2t^2.

前一段仍在查询二次原历史，后一段已查询第一条数值直线。两段在3/5的延迟值连续，公式却不同。全部14段核验给η=11/16。

式(7)的当前阻尼3严格大于延迟增益1，且初始历史完全匹配。用Halanay残差界得到

\boxed{|x(t)-v(t)|\le\frac{11}{32},\qquad0\le t\le2.} \tag{10}

它比直接使用L=4的式(5)紧得多。公开终点还用已知t²独立检查实际最大误差，但认证式(10)本身只需要历史、残差和耗散条件。

左图还列出终点h=1/8的复算：残差界19/64给认证半径19/128，低于红色容差3/20；黑点是用已知精确解另算的最大误差。右图展示下一例中必须检查的内部驻点。

节点残差全为零，区间中仍可能很大

取τ=h=T=1、零历史，以及x′=−3x+x(t−1)+4t(1−t)。Euler只在零点读取一次右端，得到v≡0。残差是−4t(1−t)，两端都为零，内部t=1/2处绝对值为1。

因此只检端点的“零残差证书”错误。正确复核器加入驻点，报告η=1，再给误差至多1/2。这一例子中真解在[0,1]满足普通受迫方程，直接计算得到

x(t)=-\frac43t^2+\frac{20}{9}t-\frac{20}{27} +\frac{20}{27}e^{-3t},

显然不是零轨道。改动证书时不能把内部驻点当作可选绘图样本删掉。

连续耗散不保证任意步长的离散衰减

令τ=h=1，φ=1，x′=−3x+x(t−1)。连续解由a=3>b=1获得指数衰减，但Euler满足

v_{n+1}=-2v_n+v_{n-1},\qquad v_0=1,\ v_1=-1,

首步必须读取原历史v(−1)=1，所以v₁=1+(−3+1)=−1。序列开始为1,−1,3,−7,17,−41；递推的准确解是两项(−1+√2)ⁿ与(−1−√2)ⁿ的平均，故包含模大于一的增长模式。这并不反驳残差定理：沿这条增长折线计算的η也会变大。步长限制h≤τ只处理历史窗口，不是离散稳定域。

推论与应用

可重放的输出与费用

固定均匀网格时，正时间延迟段的索引可由floor((t_n−τ)/h)直接确定；滚动保存最近ceil(τ/h)+2个节点足够计算下一斜率。原历史查询器的存储和求值费用另计。N步需要N次f求值、N次历史查询和O(Nd)向量算术；额外滚动节点空间为O((1+τ/h)d)。保存完整输出及查询日志则另需O(Nd)空间。

非均匀有序网格可用单调移动的索引定位固定延迟，整个运行中指针前进至多N次；其所需保留节点数取决于延迟窗口中实际有多少小步，不能只用最大步长估算内存。

对于本文标量仿射模型、二次时间强迫和二次原历史，原网格与平移网格可线性合并，残差段数O(N)。每段只需固定数量的有理运算及至多三个候选点，完整残差复核为O(N)次有理算术。若原历史另有H个分段，须加入其平移切点，成本相应为O(N+H)。整数位长、f本身和历史查询器的复杂度均未被说成常数；一般非多项式残差还需要可靠区间界等另一个计算工具。

验收的是哪一份保证

复核器应从输入模型、原历史和候选节点重新求查询区间与残差系数，不能直接相信日志里填好的α、η或“已通过”。时间覆盖完整、连接点连续、所有内部驻点已处理，且耗散条件有效时，才能返回整个[0,T]的误差界。残差过大表示这条候选未达到要求，并不证明真解不存在。

完整终点交付八步原始记录、十四段残差证书、缩步迁移和损坏证书拒绝。连续存在性、数值步长的稳定性、当前点误差和历史窗口误差分别有自己的检查，不由一张看起来平滑的曲线替代。

参考资料

Andrei D. Polyanin、Vsevolod G. Sorokin、Alexei I. Zhurov，Delay Ordinary and Partial Differential Equations，CRC Press，2024，§5.1.1印页273–274、§5.1.4印页279–280：历史插值、离网格延迟位置与连续Euler定义。本文另给有限窗残差证明、固定正延迟下的费用及有理二次证书，不援用未经检查的高阶或状态依赖延迟结论。
István Győri、László Horváth，2018年非齐次Halanay型不等式论文，pp.1–4。本文所用常系数误差底线已在Halanay页自足证明；数值轨道的离散衰减另外判断。

形式陈述 ​

因果性与停止状态 ​

一般有限窗误差 ​

什么时候确实有一阶收敛 ​

一个不与延迟对齐的有理网格 ​

全段残差可以用有限有理数认证 ​

节点残差全为零，区间中仍可能很大 ​

连续耗散不保证任意步长的离散衰减 ​

可重放的输出与费用 ​

验收的是哪一份保证 ​

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