返回“历史驱动与延迟误差证书”路线

本终点使用历史初值理路常延迟微分方程与分步构造Retarded delay differential equation · DDE method of steps · 常时滞微分方程 · 分步法用整段连续历史启动固定正延迟方程，逐窗构造唯一解，并核对有限时间延拓、历史误差与接缝正则性。、延迟比较理路Halanay 不等式与延迟误差底线Halanay inequality · Forced Halanay bound · 时滞微分不等式比较当前阻尼与过去窗口的最坏反馈，用完整上解证明指数衰减及持续扰动留下的可计算误差底线。和连续Euler理路连续 Euler 延迟方法与残差证书Continuous Euler method for delay equations · Continuous delayed Euler residual certificate以同一条连续折线读取离网格历史，并合并平移切点检查全时段残差，交付有限窗及耗散延迟模型的误差保证。三个接口。输出不是单独一个末值：要保存初始函数、延迟查询、连续候选、全部残差段以及保证适用的时间窗口。

标准库精确核验器与固定结果均可下载。用--output result.json运行，另以python -O重跑应逐字相同。程序用Fraction进行多项式、插值和极值比较；指数证书由有理Taylor上下界获得，不把最近舍入小数充当证明。

任务一：相同当前值并不确定同一个未来 ​

取τ=2/3、x′(t)=x(t−τ)。先用历史φ₁(s)=1求到t=2，再把历史改成φ₂(s)=1+3s/2。两者在零点都是1，应交出两份不同的连续解。

常数历史的三段 ​

从第一段的已知右端1开始，每次积分上一段的平移，得到

$$x_1(t)=\{\begin{array}{ll}1+t,& 0\le t\le 2/3,\\ 1+t+(t-2/3{)}^2/2,& 2/3\le t\le 4/3,\\ 1+t+(t-2/3{)}^2/2+(t-4/3{)}^3/6,& 4/3\le t\le 2.\end{array}$$

所以x₁(2/3)=5/3、x₁(4/3)=23/9、x₁(2)=319/81。逐段求导并平移，能检查整条曲线，而不只三个连接点。

初始历史的左导数为零，第一段右导数为1，接缝在零点不为两侧C¹；到了2/3，二阶导数出现跳变。这些事实不破坏正时间解的C¹合同，却影响更高阶数值余项能否跨节点使用。

改变历史后的完整迁移 ​

φ₂(t−2/3)=3t/2，因此第一段不是1+t，而是1+3t²/4。继续构造，令r=t−4/3，得到

$$x_2(t)=\{\begin{array}{ll}1+3t^2/4,& 0\le t\le 2/3,\\ 2/3+t+(t-2/3{)}^3/4,& 2/3\le t\le 4/3,\\ 56/27+(4/3)r+r^2/2+r^4/16,& 4/3\le t\le 2.\end{array}$$

中间末值是56/27，最终x₂(2)=259/81。第三段的四次项来自第二段的三次项，不能继续套只适用于常数历史的延迟指数有限和。

公开程序分别积分两份历史多项式，检查连接值与平移后的导数，再核这两个末值。两条曲线在起点相同、终点相差20/27；仅提交x(0)=1不构成完整输入。

任务二：当前点误差与整段历史误差各交一份 ​

假设某非负误差y满足

$$y^{\prime }\le -3y+\underset{t-3/5\le s\le t}{max}y(s)+\frac{1}{250},\underset{[-3/5,0]}{max}y\le \frac{3}{100}.$$

任务是认证t=2的当前误差和整段[7/5,2]的最大误差，随后把延迟改成1重新判断速率。

因为1+e^(3/5)<3，可选λ=1。底线F=1/500、初始超额C=7/250，于是

$$y(2)\le \frac{1}{500}+\frac{7}{250}{e}^{-2}<\frac{3}{500},$$$$\underset{7/5\le s\le 2}{max}y(s)\le \frac{1}{500}+\frac{7}{250}{e}^{-7/5}<\frac{9}{1000}.$$

严格有理上界可以不显示长小数：e²的前五项之和为7且余项为正；e^(7/5)展开到五次项已经大于4。分别取倒数便得到这两个界。程序的有理指数封套再独立复算同一比较。

整段历史界大于当前点界，是因为较早的误差仍留在窗口内。若把η错误地设成零，还会丢掉1/500的持续扰动底线。

现在仅将τ改成1。原λ=1因1+e>3被拒；λ=1/2则由1/2+e^(1/2)<3通过。新的当前界是1/500+(7/250)e^(−t/2)。这一变化说明原速率证书不能照搬，不能据一次证书失败直接报告系统失稳。

任务三：八步折线怎样给整个区间的误差 ​

考虑

$$x^{\prime }=-3x+x(t-3/5)+2t^2+\frac{16}{5}t-\frac{9}{25},x(s)=s^2(-3/5\le s\le 0),0\le t\le 2.$$

初始历史和强迫已配成精确解t²，最后可用它交叉核验。但先只使用模型输入构造候选和残差。取h=1/4，八次更新如下。

n	t_n	v_n	读取t_n−3/5	k_n
0	0	0	−3/5	0
1	1/4	0	−7/20	11/16
2	1/2	11/64	−1/10	79/64
3	3/4	123/256	3/20	11031/6400
4	1	23331/25600	2/5	56551/25600
5	5/4	5995/4096	13/20	279671/102400
6	3/2	879171/409600	9/10	6635043/2048000
7	7/4	24218463/8192000	23/20	30627059/8192000

最终v₈=127500911/32768000。n=4的查询2/5落在[1/4,1/2]，权重3/5，值33/320；n=3的查询3/20已经在正时间第一条数值直线上，值为零，不能再代入原历史s²。

十四段残差证书 ​

把原节点与平移节点合并，完整切点为

$$0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{3}{4},\frac{17}{20},1,\frac{11}{10},\frac{5}{4},\frac{27}{20},\frac{3}{2},\frac{8}{5},\frac{7}{4},\frac{37}{20},2.$$

每段写r=v′+3v−v(t−3/5)−p(t)，保存三个有理系数和端点/驻点。比如[1/2,3/5]的二次系数是−3，后面的[3/5,3/4]则为−2；跨过历史接缝以后，延迟输入从二次函数变成仿射函数。

按顺序十四段的精确残差绝对上界为

$$\begin{array}{c}\frac{11}{16},\frac{35}{64},\frac{511}{3200},\frac{3131}{6400},\frac{7867}{64000},\frac{12427}{25600},\frac{37387}{256000},\frac{53467}{102400},\\ \frac{147547}{1024000},\frac{1041623}{2048000},\frac{2875991}{20480000},\frac{4086887}{8192000},\frac{11411943}{81920000},\frac{16435959}{32768000}.\end{array}$$

最大值η=11/16来自第一段的右端极限。全部时间已覆盖，历史误差为零，耗散差3−1=2，因此全时段误差至多11/32。

以同一容差决定是否缩步 ​

要求认证误差不超过3/20。八步证书11/32不能通过。将h缩为1/8并从原历史重新运行，16步产生28个残差段，最大η=19/64，故

$$|x(t)-v(t)|\le \frac{19}{128}<\frac{3}{20},0\le t\le 2.$$

余量恰为1/640。不能只将八步结果重新插点后声称完成了16步算法。

网格	残差段数	认证误差上界	用t²另算的实际最大误差
h=1/4	14	11/32	3571089/32768000，约0.108981
h=1/8	28	19/128	78852792056910661/1407374883553280000，约0.056029

这两份实际最大值都在t=2达到，程序逐个仿射误差段检查二次极值。粗网格的真实误差已经小于容差，证书却偏松而拒绝；拒绝的意思是这组充分界没过关，不是轨道一定太差。

任务四：三种不该混为一谈的失败 ​

漏掉内部极点 ​

改取τ=h=T=1、零历史，强迫p(t)=4t(1−t)。Euler得到v≡0，原网格两端残差全为零，但r(1/2)=−1。复核器必须插入驻点1/2，得到η=1与误差界1/2。将该驻点从日志删掉，即使两端数值都正确，整段证书仍应拒绝。

连续系统稳定，Euler却增长 ​

对x′=−3x+x(t−1)、φ≡1，取h=1。先从真实历史启动：v(−1)=1、v₀=1，k₀=−2，故v₁=−1。随后递推v_{n+1}=−2v_n+v_{n−1}，得到

$$1,-1,3,-7,17,-41,\dots .$$

其准确表达是((−1+√2)ⁿ+(−1−√2)ⁿ)/2，确有增长模式。连续问题满足a>|b|而指数稳定；失败发生在离散步长。公开程序通过原历史查询构造第一步，不手填第二个种子。

破坏的是日志，而非方程真假 ​

对任务三逐项制作坏证书：删去3/5切点、把2/5查询改成左节点0、改变一个Euler状态、把历史侧的二次系数改错、低报η、漏终点、写错初始历史预算。复核器都从模型和节点重新计算，而不是相信日志自报的“通过”。

另把a改成|b|，应拒绝本页的严格耗散底线；这并非证明输入方程不存在。h>τ则超出本页选定的整步因果窗口合同，不等于所有显式延迟算法都不可用。输入多余的多项式坐标也必须拒绝，不能用zip静默忽略。

最后交完整模型、历史、时间网格、全部查询与斜率、连续残差多项式、极值位置、全窗半径和失败理由。普通/优化模式的有限复算用于核这些记录；一般存在、比较和阶数结论仍来自正式页的证明。