Basu 定理

定理 ​

设 $T(X)$ 对统计模型充分且完备，$A(X)$ 是辅助统计量公理库辅助统计量Ancillary statistic抽样分布在整个参数空间中保持不变、因而不携带待估参数分布信息的统计量。。在相关条件分布存在的标准条件下，$T$ 与 $A$ 在每个 $P_{\theta }$ 下独立。完整量词是：对每个 $\theta$ 和所有可测集 $B,C$，

$$P_{\theta }(T\in B,A\in C)=P_{\theta }(T\in B)P(A\in C).$$

常见支配、标准 Borel 模型满足所需的正则条件。结论是精确独立性，不是渐近不相关。

证明骨架 ​

对任意可测集 $C$，令

$$g_C(T)=P_{\theta }(A\in C\mid T).$$

充分性允许选择不含 $\theta$ 的条件分布版本。辅助性给出

$$E_{\theta }[g_C(T)]=P_{\theta }(A\in C)=Q(C)$$

对所有参数成立，于是完备性迫使 $g_C(T)=Q(C)$ 几乎处处。这恰是

$$P(A\in C\mid T)=P(A\in C).$$

再由单调类论证从指示事件推广到全部可测事件。三项条件各承担不同步骤：充分性消去条件分布中的参数，辅助性令期望差对所有参数为零，完备性再把期望恒等提升为几乎处处恒等。

例子 ​

若 $X_1,\dots ,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\sigma$ 已知，则 $\overline{X}$ 对 $\mu$ 完备充分。残差方向

$$U=\frac{(X_1-\overline{X},\dots ,X_n-\overline{X})}{\Vert (X_1-\overline{X},\dots ,X_n-\overline{X}){\Vert }_2}$$

在非零残差事件上不依赖 $\mu$，并可在零残差事件上指定固定值使其处处定义。由 Basu 定理，$U$ 与 $\overline{X}$ 独立。它保留样本形状，而 $\overline{X}$ 汇总位置证据。

正态样本中，样本均值与样本方差独立也是经典应用：位置统计量的完备充分性与残差尺度的辅助性共同触发定理。若把模型扩大为位置—尺度族并让 $\sigma$ 未知，就不能继续沿用“$\overline{X}$ 对唯一参数 $\mu$ 完备充分”的前提，必须重新选择统计量并核对完备性。

边界与反用限制 ​

只充分而不完备时，条件概率虽可消去参数，却不能从期望恒等推出几乎处处常数；只完备而不充分，也无法获得参数无关的条件分布版本。缺少任何一项都不能推出乘积分解。

参数空间缩小会改变完备性与辅助性，不能把大模型结论无条件迁移到 curved 子模型。位置族中极差虽然辅助，却不保证与样本均值独立；非正态位置族的均值通常不是完备充分统计量。

Basu 定理也不声称辅助量“无用”，不选择唯一的条件原则，更不说明条件化必然改善区间。它只给完备充分量与精确辅助量的独立性。近似 ancillary、估计后残差或只有某个矩无参数的统计量，都不能直接套用定理。

应用 ​

定理解释为何可把参数证据集中在完备充分统计量中，同时用独立辅助量检查样本形状或固定实验精度。条件推断中，可先固定辅助量，再比较 $T$ 的条件分布；模型检查中，辅助量的参数无关分布允许直接校准异常。

在 location-scale 模型里，样本经平移、正缩放后的 maximal invariant 往往辅助，而最小充分统计量压缩参数证据。两者都可能降维，却沿不同群轨道工作；只有满足定理全部条件时，才能进一步断言独立。

参考资料

• D. Basu, “On Statistics Independent of a Complete Sufficient Statistic,” Sankhyā 15, 1955。
• Erich L. Lehmann and George Casella, Theory of Point Estimation, 2nd ed., Springer, 1998，§1.8。
• George Casella and Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd ed., Duxbury, 2002，§6.2。