复杂性类 TC⁰

AC⁰ 的无界 AND/OR 只能问“是否全真”或“是否至少一个真”，多数门则能在一层比较整个输入的计数与中点。常数层 threshold 可以反复进行粗粒度计数、选择和进位汇总，因此能够表达许多看似需要顺序传播的算术。多项式规模仍然阻止把每个输入真值硬编码成独立门，常数深度则限制计数结果能被重新组合的轮数。

TC⁰ 的强大不意味着一个阈值门已能完成所有任务。单门只有一个线性分界面，parity 甚至不是线性可分；电路用多项式多个门和若干层构造复杂分区。复杂度类关心这张整网的渐近资源，而不是把“神经元能投票”当作万能性直觉。

四输入多数门

本身就是深度 $1$、大小 $1$ 的 TC⁰ 电路。输入 $1010$ 的和为 $2$，按“平票算接受”的约定输出 $1$；输入 $1000$ 的和为 $1$，输出 $0$。若文献把偶数 fan-in 的 majority 定义为严格多数，可增加一个固定常量或调整阈值，类不会改变，但精确小例子必须说明约定。

标准 uniform TC⁰ 中，两个 $n$ 位整数的加法、迭代乘法、除法与排序都可在常深多项式规模完成；这些不是由一只 majority 门直接算出，而是由常深计数和编码转换组成。另一方面，ACC⁰公理库复杂性类 ACC⁰ACC0 · ACC^0 · AC0 with MOD gates在 AC⁰ 门基上加入固定模数 MOD 门所得的多项式规模常深电路类。 的 MOD 门可由 threshold 电路模拟，故 ACC⁰ 包含于 TC⁰。目前不知道该包含是否严格，也不知道 TC⁰ 是否严格小于 NC¹；教材不能把“门基看起来更弱”写成已证分离。

若深度允许 $O(\log n)$，就离开 TC⁰ 进入 NC¹ 范围；若门数允许指数增长，常深限制的意义也会改变。uniform 与 nonuniform 版本同样不能混用：一族人为挑选的多数电路可能把不可计算的长度信息硬编码进去，并不自动给出常数深并行算法。

$T{C}^0\subseteq N{C}^1$ 可从门级模拟理解：一个多项式 fan-in 的 majority 门可由多项式规模、$O(\log n)$ 深的有界扇入加法与比较电路计算；原电路只有常数层，把这些模拟串联后总深度仍是 $O(\log n)$。在标准一致性下，这也把 uniform TC⁰ 放入相应 uniform NC¹。

TC⁰ 是研究“小深度计数到底有多强”的基准。它容纳模计数电路公理库复杂性类 ACC⁰ACC0 · ACC^0 · AC0 with MOD gates在 AC⁰ 门基上加入固定模数 MOD 门所得的多项式规模常深电路类。和基础整数算术，却尚未被无条件证明与 NC¹ 分离。对 restricted threshold circuits 的权重、深度或门数下界很多，但必须保留限制；一个深度二下界不能自动提升为整个 TC⁰ 下界。