阈值电路

阈值门先为每个输入投一张带权选票，再比较总票数与门槛。一个门只能用一个超平面切分布尔立方体：接受点位于半空间一侧。多层阈值电路则可把许多半空间组合成弯折得多的决策边界；深度和门数衡量要叠加多少轮这样的线性分割。

权重大小不是“重要性”这一口语标签，而是精确计算的一部分。同一门的参数也不唯一：把全部 $w_i,\theta$ 同乘正整数不会改变输出，却会增加编码位数。若把 $\Vert w{\Vert }_2$ 归一化，布尔输入点到分离超平面的最小间隔可衡量对参数扰动的稳健性；标准离散电路模型只问输出是否精确，不要求这个间隔有统一下界。一个负权输入可能抵消多个正权输入，阈值位置决定等号落在哪侧。把权重从十进制改成二进制不改变门函数，却改变电路描述长度；把一个权重 $W$ 粗暴地复制成 $W$ 根导线，只在 $W$ 本身为多项式时才保持多项式规模。因此讨论 majority 与一般 weighted threshold 的类级等价时，需要常深加法和比较构造，不能只说“复制输入即可”。

门

在 $100$ 上的加权和为 $2$，输出 $1$；在 $010$ 上恰为 $1$，等号约定使它也输出 $1$；在 $111$ 上总和为 $0$，输出 $0$。尤其 $100\le 101$，输出却从 $1$ 降为 $0$，直接见证负权门不必是单调函数。这展示负权输入如何否决正信号，也说明阈值的严格或非严格比较必须固定。

二位 XOR 不是单个阈值门。若 $00$ 被拒绝而 $10,01$ 被接受，则必须有 $\theta >0$ 且 $w_1,w_2\ge \theta$；于是 $w_1+w_2\ge 2\theta >\theta$，迫使 $11$ 也被接受，与 XOR 在 $11$ 上输出 $0$ 矛盾。多层阈值电路仍可计算 XOR，所以“不是一个门”不是“不能由阈值电路计算”。同理，单门表达能力、固定深度电路类和任意深度网络是三个不同层次。

线性可分性还依赖输入编码。把类别变量先做特征扩张，原本非线性的集合可能在新坐标中成为半空间；这改变的是输入表示，不是同一门突然增强。真实神经元或模拟比较器的噪声、有限精度也不在离散阈值模型内，工程鲁棒性需另行分析。

阈值门能够在一层汇总全部输入的计数趋势，使常深电路具备 AND/OR 之外的全局聚合能力。多项式规模、常数深度的 majority 电路族定义TC⁰公理库复杂性类 TC⁰TC0 · TC^0 · Threshold circuit class由多项式规模、常数深度、无界扇入多数门电路族计算的布尔函数类。，其中包含整数加法、乘法、除法等远超 AC⁰ 局部聚合能力的运算。把每个 threshold 门替换为对数深的有界扇入计数与比较电路，又是 $T{C}^0\subseteq N{C}^1$ 的结构来源。

该模型也连接感知器、投票系统和硬件比较树，但复杂度论关心的是随输入长度增长的电路族。给出一只固定门的权重向量只解决一个输入长度；要声称 uniform TC⁰，还需一致生成公理库电路族一致性Circuit family uniformity要求输入长度 n 对应电路可由统一算法有效生成的条件。门、连线和参数，而不是为每个 $n$ 人工挑一张不可计算的权重表。