同态自举刷新

服务器把一团已有噪声的密文交给一个加密着的解密程序。旧密文的各个位都是服务器能读取的公开数据，噪声藏在这些位与秘密的数学关系中；它们不是新一轮求值的“高噪声加密输入”。

新一轮真正的加密输入是那些新鲜的私钥位密文。于是式 (1) 的输出噪声主要由这批输入与固定解密电路决定，而不会机械地继承旧密文原来的巨大误差值。只要旧密文尚能正确解密，这次计算就重新得到一份可继续使用的消息表示。

一个明确的深度账本 ​

为看清条件，设某教学方案已证明：从新鲜密文开始，所有深度至多5的指定门电路都可正确求值；固定旧密文后，解密电路深度为3。还假设同一份参数证明覆盖中间密文和多次刷新接口。

一次刷新要用3层。刷新后再做一层外部门，等价于从私钥位新鲜密文起算的一张深度4电路，仍在5层内。甚至可以再做第二层外部门，到深度5，然后在尚未超预算时刷新。

下一次刷新重新以新鲜私钥位密文为输入，而将当前密文当作常量。深度计数因此重新从解密的3层开始，不会变成“旧电路深度加3”。若解密电路本身需要6层，则这个方案尚不可自举；如果恰好需要5层，也没有仅凭上述保证就再接一门的余量。

深度只是此例中已证明的预算摘要。对于GSW公理库GSW 近似特征向量同态加密GSW encryption · GSW approximate-eigenvector encryption把明文变为密文矩阵关于秘密gadget向量的近似特征值，用Flatten维持小系数，并逐门证明NAND误差递推与深度预算。一类具体构造，还要把解密接线翻译成 NAND 门，并核对各门误差递推。不能把“可算深度5”的口头描述当成真实参数安全证书。

为什么不能等到已经解错再刷新 ​

若旧密文的噪声已越界，使 $D_c(sk)=1$，但它原本想表示0，自举忠实计算的是当前解密函数，输出一份加密1。它不会知道此前计算意图，也没有纠正历史错误的信息。

因此噪声管理应在失效前刷新。自举是重新表示，不是对任意损坏密文的纠错魔法。类似地，恶意服务器替换了密文后，自举不能证明它遵守了原先电路。

三把独立钥怎样接力 ​

生成独立密钥 $(p{k}_0,s{k}_0),(p{k}_1,s{k}_1),(p{k}_2,s{k}_2)$，公开

的逐位版本。输入在 $p{k}_0$ 下加密；第一轮刷新转到 $p{k}_1$，第二轮刷新转到 $p{k}_2$，最终由 $s{k}_2$ 解密。若客户希望最终总用一把原钥，则那是另一个需要安排的接口，不能把链末密文交给 $s{k}_0$ 后假装仍能正确解密。

这条链没有“某钥加密自身”的环，但公钥材料随允许的刷新次数增长。它给出预设层数的方案，不是固定公开材料后无限延长计算的证明。

独立密钥链为何能用普通CPA ​

混合证明公理库混合论证Hybrid argument在一串相邻实验间逐步替换组件并累加不可区分优势的证明方法。可从链的末端开始，把 $p{k}_2$ 下的 $s{k}_1$ 位加密换成零加密，再向前处理 $p{k}_1$ 下的 $s{k}_0$。模拟一个未知目标私钥时，其向后输出的相关材料已经在前面的混合中换成零，归约无须知道它；被加密的上一把私钥则由归约自行生成。

一条有限链的替换次数与链长和密钥位数成正比。全部链材料换成零之后，再用输入密钥的 CPA 安全处理挑战消息。这个顺序说明为什么无环依赖可处理，也说明不能把同样论证原封不动套到同钥循环上。

若使用 $pk=p{k}_{\mathrm{old}}=p{k}_{\mathrm{new}}$，同一份加密私钥材料可以反复刷新，消除预设链长。但攻击者始终得到 ${\mathrm{Enc}}_{pk}(sk)$，须在包含这份辅助信息的游戏中证明消息保密。功能上的“能算自身解密”和安全上的“能公开加密自身私钥”是两项不同定理。[2]

刷新结果一般只保证正确和有受控的新噪声，不自动与普通新鲜加密同分布。若还要向私钥持有者隐藏服务器所算电路，应另看电路隐私公理库同态求值的电路隐私Circuit privacy在客户端知道私钥与输入随机币的观察模型中定义电路隐私，用一位标签反例和精确平移分布距离解释为何CPA与噪声刷新都不够。。自举成本也要按解密电路门数乘每门求值成本，并加入求值密钥传输/存储，而不是把刷新当常数时间黑盒。