“一个范围受控的独立接口是线性函数测试替换：先用已证明的仿射递推改写循环比较，再检查计数器除自身更新外不再被体内、条件或出口读取，最后成对删除初始化与递增。它为这一个封闭分量另给状态关系证明，…”
形式陈述
只剩比较在使用旧计数器
经过仿射归纳变量强度削弱，循环中的实际数据计算可能已全部读取新载体 h，i 却仍每轮加一次，只为判断 i<B。既然在每个条件检查点都有 h=mi+c，能否直接用 h 检查边界，再让 i 退出程序？
这包含两项不同义务。先证明新比较与旧比较有相同真假；随后确认 i 的其余使用真的消失，才能删除其初始化和更新。数值关系成立并不意味着源程序从未在返回值里观察 i。
沿用前页的规范数学整数循环、纯总运算、体尾唯一归纳更新与不变步长、偏移。源条件必须为 i θ B，其中
B 的全部变量在入环前已定义且体内不写。斜率 m 是已知非零整数，偏移 c 是循环不变表达式。要求 h=mi+c 在每次旧条件检查点成立，而不是只在某个体内计算位置成立。
比较怎样随斜率变换
先在入环初始化段计算新界 L=mB+c。m>0时保持比较符号，m<0时反转四种有序比较；等于与不等于保持符号：
例如 m=−2 时，i<13 对应 −2i+9>−17。这里反转的是斜率符号，不是步长符号。循环可以递增或递减，只要同一个仿射关系在检查点成立，新旧比较仍逐点等价。
m=0时，h=c 丢失了 i 的信息，不能把所有 i 与 B 的比较还原出来。参考器拒绝此种测试替换，即使之前的强度削弱仍可合法维护这个常值。它不会用测试输入中偶然一致的真假代替非零斜率条件。
改测试之后，再检查能否删变量
把条件换成 h θ′ L 后，检查循环体中除 i 自身递增之外是否仍有任何读取 i 的位置，也检查所有返回表达式。如果还有读取，则本接口拒绝删除 i，不试图猜测该使用“不重要”。
删除仍须满足死代码消除的纯总运算与观察限制。不过旧页的普通活跃性迭代可能让自读递增一直保活，本页不能声称调用那个保守实现就会自动删掉 i。这里另有已检查的封闭结构：除自身递增外，i 不再被任何体内表达式、条件或返回读取；本页因而成对删除初始化和递增，并用下文的状态关系证明正确。其余源赋值保持原位置。
初始 h 原来在 i 初始化后读取 i。为删除 i:=i₀，把这项初始化写成 h:=m i₀+c。输入合同保证 i 的初始化是原初始化段最后一条，二者之间没有另一条源写入会改变 i₀ 的右侧值，因此这次替代取得同一个初值。更一般的跨赋值复制传播需要自己的到达定义证据。
参考函数从实际源程序重新执行强度削弱，建立递推证据，再检查本页条件；不接受用户传来的未经核验“h=mi+c”标记。成功返回完整新程序、新旧条件、界初始化和被移除变量。失败返回 refused、精确原因和已经验证的前阶段报告，最终 program 为 null；不得把前阶段程序误当成测试替换已经通过。
直觉
i 与 h 像同一条刻度尺上的两套刻度。正斜率把顺序保持住；负斜率把刻度方向翻转；零斜率则把全部刻度压成一点，无法判断原来的先后。转换边界时，也必须用同一套比例和偏移。
能够用新刻度判断循环，并不保证旧刻度无人需要。如果函数最后还返回 i，删除它就丢掉观察结果。本页先改比较，再做使用检查，把这两步分开。
例子与边界
从i<13到h<61
前页源程序 i 从2起，每轮加3，j=5i−4，sum 累加 j。强度削弱后 h 从6起，每轮加15；返回只含 sum、j，没有 i。新界是5×13−4=61，因此循环改成：
text
sum := 0
j := 99
h := 5*start+bias
d := 15
L := 5*limit+bias
while h < L:
j := h
sum := sum+j
h := h+d
return (sum,j)h 的五个条件检查值为6、21、36、51、66，对61的比较为真、真、真、真、假；旧 i 对13的比较也恰是这串真假。两者都返回 (114,51)。目标不再执行 i 的初始化和四次递增，但保留 j 的实际赋值。
源、仅强度削弱、再替换测试三者的乘法次数分别为4、1、2；最后一步额外计算新界，不是免费常量。加法次数为12、13、10。若start、limit和bias都是运行时参数，新界乘法要在每次调用时支付；不能把删除四次 i 递增说成“目标所有操作都减少”。
负斜率要求反转方向
保持 i 的起点2、步长3和上界13，改成 j=−2i+9。四轮 j 为5、−1、−7、−13，sum 最终为−16，返回 (−16,−13)。h 从5开始每轮减6，新界为−17。
正确条件是 h>−17；检查5、−1、−7、−13时为真，检查−19时为假。若忘记反转仍写 h<−17，第一次检查就为假，错误返回 (0,99)。步长仍为正，却必须反转比较，决定因素是斜率−2。
跨过界值，不等于到达界值
正斜率例中 h 从51跳到66，越过61而不等于61。把正确的 h<61擅自改成 h!=61，会一直继续，因为6+15k永远不是61。源只执行4轮，错误目标却不再正常退出。
本页保留比较种类，只在负斜率时作对应反转。若源本来就是 i!=B，则新条件 h!=mB+c确实等价；它不承诺源一定会到达B。例如 i₀=2、s=3、B=13，方程2+3k=13没有非负整数解，所以这份具体源循环发散，正确目标也发散。
循环结束后的计数器仍可能有用
让正斜率主例返回 (sum,j,i)。源结果为 (114,51,14)，不是把界13填到最后一项。强度削弱保持这个返回；测试替换接口报告 induction live at exit，不能交付缺失 i 的程序。
当然可以另设计退出值重建，借 h 和非零m求回 i；但那需要定义整除与观察时刻，核对所有退出边，并计入新增成本。本页不做这项扩展，拒绝比未经证明的“修复”更准确。
回绕的仿射关系不保持整数顺序
设所有值按8位无符号数回绕，源从 i=0 起，条件 i<100，每轮 i加1。源执行100轮；用 h=4i的模256递推并不破坏这个模关系。
但若把新界400也回绕成144，再用 h<144作条件，目标在36轮后就停止：此时 i=36仍小于100，h=144却不小于144。这说明“递推仍对”不等于“比较仍对”。本接口只接收数学整数模型，没有一个能偷偷切到回绕语义的选项；要优化机器整数，须先给出足以排除相关回绕的范围证明或其他专门规则。
推论与应用
一个逐点比较证明
对任意数学整数 i、B，若m>0，由整数有序环性质，i<B当且仅当mi+c<mB+c，其他非严格或反向不等式同理。若m<0，乘以负数使顺序反转，随后加同一个c不再改变真假。
相等与不等于使用的是单射性：m(i−B)=0在m非零的整数域上当且仅当i=B。m=0恰好使这步失效。因此表中的每项都有对应依据，不是只凭“线性函数一般不会改变测试”。
在每次循环头，前页递推已给出h=mi+c，新界又因B、c不变而一直等于mB+c。将逐点命题代入，就得到每次新旧条件相同。证明不要求i按正方向前进，也不要求存在某个有限退出轮次。
删除计数器后的状态关系
源与目标不再拥有完全相同的变量集合。关系要求：除被证明没有外部使用的i以外，所有原变量仍同值；目标的h对应源mi+c。初始h用i₀求值建立关系，删除i初始化不影响其他源赋值。
一轮开始时条件相同。保留下来的体内表达式不读取i，其余源状态又相同，因此逐条得到相同赋值结果。源尾部更新i，目标尾部更新h；由仿射递推恢复下一头的关系。退出返回不读取i，故观察结果相同。
每个匹配轮次都是有限工作，因而有限退出与无限循环都保持。执行器把“检查条件后还需执行更多轮，但预算用完”报告为budget_exhausted；它提供相同数量的循环头前缀，不能自行判定任意循环永不终止。
实际成本与适用范围
若可靠递推关系和使用索引已给出，改写比较、生成新界与删除两条定义只需常数数量的IR动作；确认没有其他使用仍按所检查语法的大小付费。新界表达式不是复制动态循环次数，而是在初始化段出现一次。
参考器为可复查而从源重新建立强度削弱结果，再扫描体内及返回的所有读取，并重验输出初始化合同。沿用前页A及常量折叠工作F，保守费用为O(A²+F)，工作空间O(A²)，输出语法O(A)。这包含重复验证与结构扫描，不把“改一条分支”冒充整个过程的成本。
对于N轮主例，删除原i更新节约N次加法，但新界增加一次乘法和一次偏移加法。N=0时源返回(0,99)，最终目标也一样，却新增两次初始化乘法和两次加法。语义合法、操作数变化与硬件性能应分开报告。
可执行终点要求同时提交正负斜率的比较真假序列、零斜率拒绝、活跃出口拒绝、36对100的回绕反例及!=不可到达界的前缀。只有所有使用都受控时，消失的旧计数器才真正是死代码。
参考资料
- Keith D. Cooper、L. Taylor Simpson、Christopher A. Vick，Operator Strength Reduction，作者预稿，§5，预稿PDF第18–19页，介绍沿削弱变换链替换被比较变量和界，并由后续优化删除旧归纳变量；Figure2为基本组合。正式发表为 ACM TOPLAS 23(5),2001,pp.603–625。本页补全规范数学整数模型中的符号、单射性、零轮和外部使用条件，不声称移植全部SSA算法或机器整数比较规则
- Adrian Sampson，Cornell CS6120: Loop Optimization，归纳变量优化后仍需复制传播、死代码删除的教学背景；本页的比较表与拒绝条件由上述模型单独证明