一个整数被表示，还缺哪一种证书 ​

本终点把四个接口接起来：整数二元型理路整数二元二次型Integral binary quadratic form · Proper equivalence of binary quadratic forms · 二元型的正等价用整数三元组和行列式为一的整数换元研究二元型，区分本原型、本原表示与正等价，并把表示证书转换成首列换元和判别式同余。规定允许的换元，正定约化理路正定二元型约化Reduction of positive definite binary quadratic forms · Gauss reduction of binary quadratic forms · 约化正定二元型通过整数剪切和带符号交换将正定二元型化为唯一边界代表，输出总SL₂换元证书，并以判别式界穷尽全部正等价类。给唯一代表，型与理想的对应理路二元型与定向理想的对应Binary quadratic forms and ideal classes · Oriented ideal form correspondence · 二元型与可逆理想在负基本判别式的完整整数环中，将正定二元型的正等价类与理想类双向对应；从定向理想基计算型，再给出恢复原理想的显式标量，并核验反向定向及非最大子阶的边界。转换两种输入，Gauss合成理路Gauss 二元型合成Gauss composition of binary quadratic forms · Dirichlet composition · 二元二次型类合成在负基本判别式下构造互素首系数和共同中项，用整数CRT计算型类乘积；由定向理想双射证明选择无关与群律，并完整算出判别式−23的三阶类群。认证类乘法。所有计算使用整数或有理数，不靠浮点特征值判断相等。

开始前，先确认两个会直接进入定义的工具：行列式理路行列式Determinant交换含幺环上方阵的交替多线性标量不变量。用来区分行列式为 $+1$ 的正换元与允许 $\pm 1$ 的一般整数可逆换元；数域元素范数理路数域范数Number field norm · Field norm over the rationals将数域元素的乘法视作有理线性算子，以行列式定义范数并用于整数环中的因子约束。用来把理想中的元素变成数值。若这两点还不熟悉，可先沿链接补齐，再按上面的四步路线继续。下面的 $N(\alpha )$ 是元素范数，而 $[\mathcal{O}:I]$ 是理想的指数；归一化型把前者除以后者，不能把它们混为同一个输入。

固定 $D=-23$，取正虚部的 $\sqrt{-23}$，记

$$\theta =\frac{1+\sqrt{-23}}{2},\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\theta ],{\theta }^2=\theta -6.$$

这里 $-23$ 平方自由且模四余一，所以 $\mathcal{O}$ 是完整整数环。元素的范数为

$$N(x+y\theta )=x^2+xy+6y^2.$$

所有有序理想基都取正定向，所有型换元矩阵都在 $S{L}_2(\mathbb{Z})$ 中。相同的整数表示集合不足以认证相同的正等价类。

任务一：交出系数、矩阵与表示的同一份证书 ​

输入

$$Q(x,y)=24x^2+83xy+72y^2.$$

先算 ${83}^2-4\cdot 24\cdot 72=-23$。首系数为正且判别式为负，确认正定后再运行约化。三步为

$$(24,83,72)\stackrel{T_{-2}}{\to }(24,-13,2)\stackrel{S}{\to }(2,13,24)\stackrel{T_{-3}}{\to }(2,1,3).$$

右侧总换元矩阵必须按执行顺序相乘：

$$U=T_{-2}S{T}_{-3}=\left(\begin{array}{cc}-2& 5\\ 1& -3\end{array}\right),\det U=1.$$

验收时直接展开 $Q(U(X,Y{)}^{\mathrm{\top }})=2X^2+XY+3Y^2$。得到同样的判别式只是必要检查；不检查这个恒等式，就还没有得到原输入的等价证书。

约化型在 $(2,1)$ 表示13。原坐标是 $U(2,1{)}^{\mathrm{\top }}=(1,-1{)}^{\mathrm{\top }}$，于是

$$Q(1,-1)=24-83+72=13.$$

这个表示是本原的。若改用行列式负一的普通交换矩阵，即使输出仍然正定，也不能把它作为正等价证书接受。

任务二：从不规范理想基来回转换 ​

给定理想 $I=(2,\theta )$ 的有序基

$$\alpha =6+\theta ,\beta =10+2\theta .$$

在 $(1,\theta )$ 中的坐标矩阵是

$$M=\left(\begin{array}{cc}6& 10\\ 1& 2\end{array}\right).$$

行列式为二，所以基正定向、理想指数为二。它们确实生成 $I$，因为

$$2=2\alpha -\beta ,\theta =-5\alpha +3\beta .$$

范数为48、144，交叉系数为166。除以指数二便恢复任务一的型 $(24,83,72)$。这一除法由理想包含关系保证系数整性，不能随便换成两个基向量长度的乘积。

反方向给出

$$I_Q=24\mathbb{Z}+(41+\theta )\mathbb{Z},\lambda =\frac{6+\theta }{24}.$$

交付两条精确等式

$$\lambda \cdot 24=\alpha ,\lambda (41+\theta )=\beta .$$

第二条只需展开并代入 ${\theta }^2=\theta -6$。它证明 $I=\lambda I_Q$，直接认证两个理想在同一理想类。

同一理想的负定向基 $(2,-\theta )$ 却给 $(2,-1,3)$。该型与 $(2,1,3)$ 是不同的规范代表；若把正定向删掉，双射立即变成一对多。真正对应 $(2,-1,3)$ 的是共轭理想的正定向基 $(2,-\bar{\theta })$。

任务三：列尽三类，再计算全部乘积 ​

约化界为 $a\le \sqrt{23/3}<3$。逐个取 $a=1,2$，检查 $|b|\le a$、$c=(b^2+23)/(4a)$为整数、$a\le c$及等号时的符号规则，得到且仅得到

$$E=(1,1,6),A=(2,1,3),B=(2,-1,3).$$

三者本原，唯一性定理使它们对应三个不同的类。特别是 $A$ 与 $B$ 虽然通过 $y\mapsto -y$ 表示同一批整数，仍不能在正等价分类中合并。

先做一次真正需要预处理的合成 ​

求 $A^2$ 时，两首系数都是二，不能直接使用互素公式。给第二个输入施加 $S$，得到 $(3,-1,2)$。然后解

$$B_0\equiv 1(\mathrm{mod}4),B_0\equiv -1(\mathrm{mod}6).$$

可取共同中项 $B_0=5$；积首系数为六，末系数为

$$\frac{5^2+23}{4\cdot 6}=2.$$

得到 $(6,5,2)$。再施加 $S,T_1$，依次为 $(2,-5,6)$、$(2,-1,3)$，所以 $A^2=B$。

也可以完全不采用这次互素预处理，直接算原理想的积：

$$(2,\theta {)}^2=(4,2\theta ,{\theta }^2)=4\mathbb{Z}+(2+\theta )\mathbb{Z}.$$

右侧第二生成元满足 $2+\theta =2\cdot 4+{\theta }^2$；反过来 ${\theta }^2=(2+\theta )-2\cdot 4$、$2\theta =2(2+\theta )-4$。其指数为四，归一化范数型是 $(4,5,3)$，约化仍为 $B$。这提供一份不同中间表示的交叉核验。

求 $AB$ 时，将第二输入变成 $(3,1,2)$，共同中项取一，得到 $(6,1,1)$；经 $S,T_1$ 约化为 $E$。由于合成已证明结合且 $B=A^{-1}$，全部乘法表为

$\ast$	$E$	$A$	$B$
$E$	$E$	$A$	$B$
$A$	$A$	$B$	$E$
$B$	$B$	$E$	$A$

因此群是 $C_3$。公开程序仍把九格逐一计算，避免用一张自洽却接错输入的表充当算法检验。换不同的互素代表或把共同中项加上 $2a_1{a}_2$，原始三元组可能变，规范结果必须不变。

任务四：13分裂，为何没有主型表示 ​

模13时

$$X^2-X+6=(X-5)(X-9).$$

所以映射 $\mathcal{O}\to {\mathbb{F}}_{13}$ 分别把 $\theta$ 送到5或9，给出两个指数13的素理想

$${\mathfrak{p}}_5=(13,\theta -5),{\mathfrak{p}}_9=(13,\theta -9).$$

第二个也可写成 $(13,\theta +4)$。各取给出的正定向基，归一化范数型分别为

$$(13,-9,2),(13,9,2).$$

验证换元

$$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

分别把它们送到 $A$ 和 $B$。两个素理想因此都不是主理想。

也能从范数直接看到主性障碍。若存在范数13的元素，主型必须满足

$$x^2+xy+6y^2=13,\text{即}(2x+y{)}^2+23y^2=52.$$

只能有 $y=0,1,-1$。$y=0$要求52为平方；$|y|=1$要求29为平方，均不可能。故 $\mathcal{O}$ 中没有范数13的元素。另一方面

$$A(2,1)=13,B(2,-1)=13.$$

素数在域中分裂只给范数为该素数的理想；想把这个理想生成为一个元素，还要知道它的类是否为单位元。此例把两种结论的差距显示在同一组整数上。

任务五：迁移到偶判别式与不同群结构 ​

取 $D=-20$。它是基本判别式，完整整数环为 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$。规范型只有 $(1,0,5)$ 与 $(2,2,3)$；后者的逆型 $(2,-2,3)$ 经 $T_1$回到自身，所以非单位元阶为二。这里与既有理想类群理路理想类群Ideal class group以分式理想对主理想取商衡量主生成的障碍，证明二次整数环的理想范数乘法性，再用 Minkowski 圆盘界完整算出 Q(√−5) 的二阶类群。的理想计算相接，要求的是给出型算法的第二份证书。

再取 $D=-84$，完整整数环为 $\mathbb{Z}[\sqrt{-21}]$。有限枚举得到

$$(1,0,21),(2,2,11),(3,0,7),(5,4,5).$$

第二个通过 $|b|=a$ 的边界规则与逆型同类；第三个中项为零；第四个通过 $a=c$ 的带符号交换与逆型同类。因此三个非单位元都为二阶，群为 $C_2\times C_2$，不是 $C_4$。还应核对一次非平凡乘积：$(2,2,11)$ 与 $(3,0,7)$ 取共同中项六，得到 $(6,6,5)$，再用 $S,T_1$约化为 $(5,4,5)$。

最后输入 $D=-16$。正定约化仍可处理 $(1,0,4)$，但本单元合成程序应拒绝它，因为 $-16$ 不是基本判别式。子阶 $\mathbb{Z}[2i]$ 的非零理想不全可逆；若不改变输入范围，就不能把完整整数环的类群结论照搬过来。拒绝合成不表示这个型不存在，也不表示它不能约化。

复算和验收清单 ​

下载标准库精确程序与已保存结果。程序可用 --output 指定自己的结果文件，运行需要Python3，不需要第三方数论包。

验收应包含：

1. 任务一的三步系数、总矩阵、行列式和13的原坐标
2. 任务二的理想指数、归一化型、显式缩放及正定向检查
3. 三个规范类、九格乘法表，以及两种独立理想乘积路径给出的相同规范输出
4. 两个模13根、两个素理想的型与约化矩阵、主型无解证书
5. $-20$与$-84$的完整规范代表及不同群结构，还有非基本输入的拒绝记录

程序额外枚举小判别式、随机整数正换元、数千位的大整数、完整平方得到的表示，以及受损矩阵和合成证书。有限测试用于发现实现错误；类枚举完整性、约化唯一性和合成选择无关仍由四篇正式页的证明负责。互素代表搜索保证终止，但这里不声称它具有多项式位复杂度。

回到从整数二元型到类群证书路线。