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单元终点任务：为一次逻辑计算交付容错与资源证书 ​

任务背景 ​

“码能纠正一个错误”“电路能承受一个位置故障”“资源态已经足够纯”“总计算失败率够低”是四项需要分别验收的承诺。本题从七qubit CSS码出发，设计逻辑CNOT、检查综合装置，再加入100个非Clifford相位门，最后给出有固定最坏资源上限的错误预算。

全题固定 $Y=iXZ$，综合顺序为三条 $X$ 检查在前、三条 $Z$ 检查在后，检查本征值 $-1$ 记1。整体Pauli相位不计为逻辑错误，但测量生成元的正负号必须保留。

题目 ​

A. 编码和逻辑门的证书 ​

取

$$H_X=H_Z=H=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$$

1. 验证 $H{H}^T=0$、$\mathrm{rank}H=3$，求编码qubit数与精确距离；给出重量3的逻辑 $X,Z$
2. 求 $Y_5$ 的完整六位综合；说明为什么两半综合不同时指向同一位置时，不能声称仍在任意单错保证内
3. 两块逐位置CNOT怎样变换稳定子和逻辑Pauli？若第5对物理CNOT出一次任意双qubit故障，每块最坏受到多少位置错误？如果输入已有位置1的错误，再允许位置5出故障，原单故障保证能否直接相加？
4. 七qubit的物理 $S^{\otimes 7}$ 实现逻辑 $S$ 还是 $S^{†}$？保留相位计算
5. 用带符号tableau公理库Gottesman–Knill 定理与稳定子模拟Gottesman–Knill theorem · Stabilizer tableau simulation用带相位的稳定子tableau逐门模拟Clifford电路，展开随机与确定Pauli测量更新，并明确存储、消元和采样的资源界。模拟 $|00⟩\stackrel{H_1}{\to }\stackrel{\mathrm{CNOT}}{\to }$，随后先测 $Z_1$ 再测 $Z_2$；列出全部输出分支

B. 综合装置不是黑盒 ​

B1–3先选A题码的第一条 $Z$ 检查，其全局支撑为 $1,3,5,7$。把四个参与数据qubit局部标为 $d_1,d_2,d_3,d_4$，分别对应全局位置 $1,3,5,7$，于是

$$P=Z_{d_1}{Z}_{d_2}{Z}_{d_3}{Z}_{d_4}=Z_1{Z}_3{Z}_5{Z}_7.$$

方案一用 $|0⟩$ 辅助作四个CNOT的共同目标，数据 $d_1$ 到 $d_4$ 依次作控制。B4起讨论完整七qubit综合，恢复使用A题的全局编号 $1,\dots ,7$。

1. 在第二个CNOT后插入辅助 $Z$，逐门传播到末端。为什么它可以不直接翻转最后的辅助 $Z$ 读数，却破坏单错保证？
2. 改用四位cat：从全零开始，执行 $H_{a_1}$ 和链式CNOT $a_1\to a_2\to a_3\to a_4$；另用 $|0{⟩}_v$、CNOT $a_1\to v,a_4\to v$ 测首尾奇偶，结果0才接受。展示一个形成 $X_{a_3}{X}_{a_4}$ 的单故障，以及它为何必被拒绝
3. 解释cat上模 $X_{a_1}{X}_{a_2}{X}_{a_3}{X}_{a_4}$ 等价的意义，并说明验证区的一次故障为什么不会在cat上制造两处可传播的 $X$。通过后各cat线只与一个数据位置作CZ，再测cat的四个 $X$；输出奇偶为何测到 $P$？
4. 使用四轮完整综合规则公理库容错综合提取Fault-tolerant syndrome extraction · Shor error correction用明确的四位cat制备与端点校验阻断危险传播，再以四轮完整综合和一致性规则处理测量故障，分别证明单输入错与单内部故障条件。：每轮六条检查，轮间不恢复，取最早相邻相同的整份综合。初始数据无错，唯一故障在第二轮第三条 $X$ 检查读数之后制造 $Y_5$，该条仍报告0。列出四轮记录和最终恢复。若同一事件移到第三轮，结果怎样？
5. 每个cat至多安排两次制备尝试、四轮后无相邻一致对就报失败。为什么这些停止条件不会破坏“至多一个故障位置”的保证？有限Pauli枚举又不能代替哪部分一般证明？

C. 把T门从辅助资源接到数据上 ​

取 $\omega =e^{i\pi /4}$、$|A⟩=(|0⟩+\omega |1⟩)/\sqrt{2}$。数据控制CNOT作用于该辅助，再测辅助 $Z$，结果记 $m$。

1. 对任意 $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ 求两支未归一化数据向量、各自概率及需要的Clifford修正
2. 资源若换成 $Z|A⟩$，最终输出会有什么错误？若忘记前馈，以 $|+⟩$ 为输入，输出的 $Y$ 期望是多少？
3. 资源与理想态迹距离至多 $\delta$，且与带参考的数据独立。为什么完成所有测量分支和前馈后的输出误差至多 $\delta$？为什么不能无条件照搬到任意后选择分支？
4. 这套注入公理库魔术态注入与门传态Magic-state injection · Gate teleportation把一份T魔术态转化为数据上的T门，逐分支计算测量与S前馈，说明相位错误如何传递，并以迹距离界控制完整注入通道的资源误差。为什么不与Clifford电路的经典模拟或横向门限制公理库Eastin–Knill 横向门限制Eastin–Knill theorem从单子系统错误可检测推出局部生成元在码空间上为标量，再用紧Lie群的连通分支证明固定横向酉门不能构成通用逻辑门集。矛盾？

D. 一个有重试上限的魔术态工厂 ​

每批15份原始资源独立，单份相位错误率 $p=0.01$。不同批次也独立。先在理想Clifford模型中使用十五到一蒸馏公理库魔术态蒸馏Magic-state distillation从十五qubit CSS码构造十五到一魔术态蒸馏，推导接受率与条件输出误差的精确多项式，并用同边际相关噪声反例展示独立性条件的重要性。，令 $t=1-2p$：

$$a=P_{\mathrm{acc}}=\frac{1+15t^8}{16},b=p_{\mathrm{out}}=\frac{1-15t^7+15t^8-t^{15}}{2(1+15t^8)}.$$

1. 以15个非零四位列构造 $H$。为什么一、二处错误必被拒绝，而恰有35种三处错误通过且造成逻辑 $Z$？
2. 复算 $a,b$。解释 $b$ 是什么条件下的概率；无限重试时平均每个输出消耗多少原始资源？
3. 为100个 $T$ 门各安排一个资源输出。每个输出最多尝试10批，只保留第一个接受批，10批都拒绝则整次计算报失败。求资源用尽失败概率的并集上界、原始资源的固定最坏消耗，以及已接受输出中任何一个相位错误的并集上界
4. 构造一个各份资源边际错误率仍为 $p$、但相关性使所有批次都接受且输出错误率为 $5p$ 的例子。为什么它不违背前面的精确公式？

E. 把全部误差放进同一本账 ​

现在把上述Clifford处理、检查、注入前馈及等待交给编码装置执行。把原始魔术态的误差视为独立资源接口；它们与装置故障独立。假设已经通过真正的exRec正确性、截断与层级化归约，证明对所用全部模块有

$$p_{j+1}\le 100p_j^2,p_0={10}^{-3}.$$

并且包括全部受限重试、等待和测量在内，每次任务最多使用 $T={10}^6$ 个受保护的逻辑Clifford位置。目标总失败界为 $0.01$。这里的系数100和位置上限是已给定且须由实现方另行证明的接口，不是要求从七qubit码名推出来。

1. 算到三级的 $p_j$；用装置坏事件、工厂耗尽、已接受资源错误三个事件给总失败并集界
2. 为什么只报无限重试的平均消耗，不能直接支撑这里固定 ${10}^6$ 位置的最坏预算？
3. 解释独立教学递推与真实阈值证明公理库级联量子码与阈值定理Concatenated quantum code · Quantum accuracy threshold theorem先解独立分块的二次误差递推，再用共享纠错区的反向截断和层级化归约解释真实阈值证明，并给出深度、总失败率与开销预算。的差别：相邻exRec共享纠错区时，何处必须反向截断？为什么要对任意指定的一组逻辑坏位置证明联合概率界？
4. 最后做两个边界对照：$L=3$ 的环面表面码有多少物理与逻辑qubit？九qubit Bacon–Shor码的4个规范qubit为何不能加算成4个受保护逻辑qubit？

完整题解 ​

A题：代数证书先于容错承诺 ​

每行重量4，任意两行交叠两位，因此所有行点积为0。列1、2、4组成单位矩阵，秩为3；两类共6条独立检查，所以 $k=7-6=1$。

$H$ 无零列且列互异，核中无重量1、2向量；前三列异或为零，所以 $u=1110000$ 在核中。非零行组合重量恒为4，故 $u$ 不在行空间。两类距离均为3。可取 $\bar{X}=X_1{X}_2{X}_3$、$\bar{Z}=Z_1{Z}_2{Z}_3$；二者重叠三位，彼此反对易。它们也分别等效于全七位 $X,Z$。

对 $X^u{Z}^v$，综合为 $(Hv,Hu)$。第5列为101，故 $Y_5$ 给 $101\mid 101$。两半若分别指向不同位置，所选恢复可能是 $X_i{Z}_j$，$i\ne j$，涉及两位；这不是任意单错保证内的情形。

逐位置CNOT令控制块 $X^h$ 变为两块 $X^h$ 的乘积，目标块 $Z^h$ 变为两块 $Z^h$ 的乘积；其余两类保持。检查因此仍在联合稳定子中，逻辑Pauli按相同规则变换，辨认出逻辑CNOT。一次第5对门故障最多在每块位置5出错；输入位置1已有错再允许位置5故障，可能每块两错，不能把两项单预算无条件相加。

横向 $S$ 对重量4的检查产生 $i^4=1$，但对逻辑全七位 $X$ 给

$$Y^{\otimes 7}=i^7\bar{X}\bar{Z}=-\bar{Y}.$$

逻辑 $Z$ 不变，所以实现 $S^{†}$。对应地，逐位物理 $S^{†}$ 才实现逻辑 $S$。

Bell制备的稳定子表为 $ZI,IZ\to XI,IZ\to XX,ZZ$。测 $Z_1$ 与 $XX$ 反对易，抛公平位 $b$，更新为 $(-1{)}^{b}ZI,ZZ$；相乘得到 $(-1{)}^{b}IZ$，故第二位读数相同。完整输出只有00、11，各概率 $1/2$；第二次测量不是又抛一枚独立硬币。

B题：故障位置与数据错误位置分开数 ​

单辅助上的 $Z_a$ 经过后两门变成 $Z_{d_3}{Z}_{d_4}{Z}_a$。辅助相位与末端 $Z_a$ 测量对易，所以不直接翻读数，却在数据留下二位错误。即使 $P$ 是稳定子，它也只与 $Z_{d_1}{Z}_{d_2}$ 等效，不自动等效为单错。

链式cat中，在 CNOT $a_2\to a_3$ 之后令目标出现 $X_{a_3}$，下一门会把它变为 $X_{a_3}{X}_{a_4}$。它与 $Z_{a_1}{Z}_{a_4}$ 反对易，验证读数必变1；所以cat在触碰数据前被拒绝。

cat的 $X_{a_1}{X}_{a_2}{X}_{a_3}{X}_{a_4}$ 是稳定子，故某个 $X$ 支撑与其全体补集作用等效。沿指定链逐位置分类，唯一需要排除的二位等价类是辅助支撑 $\{a_3,a_4\}$ 或其补集 $\{a_1,a_2\}$，首尾校验正好发现它。若唯一故障在验证区，原cat理想；一次验证CNOT只接触一个cat位置，最多在那里制造一个 $X$，目标 $Z$ 回传只带来cat相位错误。后者可能翻综合，不会向多位数据传播比特型错误。

理想cat与数据经四个独立CZ后为

$$\frac{|0000⟩|\psi ⟩+|1111⟩P|\psi ⟩}{\sqrt{2}}.$$

四个 $X$ 测量结果乘积为 $s$ 时，数据更新正比于 $(I+sP)|\psi ⟩$。同一奇偶下的详细辅助结果不再区分逻辑态，故实现所需稳定子投影。cat上与全体 $X$ 相差的错误，会使数据恢复相差一个所测 $P$，在对应分支中只差标量。

第二轮第三项之后发生指定 $Y_5$ 时，四轮记录为

$$000\mid 000,000\mid 101,101\mid 101,101\mid 101.$$

最早相邻一致对是第3、4轮，按综合施 $Y_5$，错误被清除。若故障移到第三轮，则记录为

$$000\mid 000,000\mid 000,000\mid 101,101\mid 101.$$

先选第1、2轮，恢复为 $I$，最终留下一个 $Y_5$，仍在距离3码的可纠正预算内。允许留单错与允许制造逻辑错误不同。

至多一个故障时，若某次cat制备/验证被拒绝，第二次无故障就必通过；两次失败需要超出该承诺。四轮中最多一轮被直接扰动，故故障前或后一定有相邻两个干净轮次。任何被选中的一致对又至少含一个干净轮，所选综合确曾真实发生。恢复表覆盖全部64种综合，使任意综合分支可被送回某个码态，但不承诺任意多错输入仍保留原逻辑信息。

脚本枚举195个指定cat调度的单Pauli故障，其中107接受、88拒绝；所有接受模式都安全。另核对60个cat—数据CZ故障、1056个相关数据/读数单故障记录及67584个任意输入综合记录。这些是有限电路接口的复算；一般局部算子的线性扩展、量子参考的保持及递归exRec正确性仍需理论证明。

C题：随机分支必须确实合并为目标通道 ​

两支未归一化向量为

$$K_0|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}T|\psi ⟩,K_1|\psi ⟩=\frac{\omega }{\sqrt{2}}{T}^{†}|\psi ⟩.$$

各概率 $1/2$；$m=0$ 不操作，$m=1$ 施 $S$，因 $S{T}^{†}=T$，两支同为目标态，允许整体相位。坏资源 $Z|A⟩$ 则在两支都留下数据 $Z$，所以输出为 $ZT|\psi ⟩$。

若完全忘记前馈，输入 $|+⟩$ 的两个相反相位输出等权混合，$Y$ 期望为0；正确 $T|+⟩$ 的 $Y$ 期望为 $1/\sqrt{2}$。

把全部测量与前馈视为一个CPTP映射，资源迹距离在张量上同一数据/参考态后不变，再由通道收缩性得到输出误差至多 $\delta$。后选择分支要除以接受概率，通常不再有未经调整的同一界。

魔术态不是稳定子态，故不在Gottesman–Knill的输入假设内。注入又含辅助资源、测量和前馈，不是一个在固定码空间内运行的横向乘积酉群元素，因此不违背Eastin–Knill。它解决的是如何消耗非Clifford资源，不是证明资源可以免费制备。

D题：接受率和条件错误率分别进入预算 ​

一处错误对应一列非零综合，二处错误对应两列之和，因列互异而非零。三处通过恰在 $x+y+z=0$；不同非零有序对有 $15\cdot 14$ 个，每个无序三元组被数6次，故有35种。这些模式重量奇，因此是逻辑 $Z$ 而不是 $Z$ 稳定子。

代入 $t=0.98$ 得

$$a\approx 0.860090333670424,b\approx 0.0000360876839653233.$$

$b$ 已经以“该批接受”为条件归一化。无限独立重试平均每个接受输出消耗 $15/a\approx 17.44002858$ 份原始态，但没有有限最坏上限。

设 $q=1-a$。一个输出10批全拒绝的概率为

$$q^{10}\approx 2.87393677\times {10}^{-9}.$$

100个输出的耗尽事件并集界为 $100q^{10}\approx 2.87393677\times {10}^{-7}$。最多1000批，每批15份，固定最坏原始态消耗为15000份。

在第 $r$ 批第一次接受的条件下，该批输出错误率仍为 $b$：前面 $r-1$ 批拒绝与当前批独立，且当前批已经按接受条件归一化。因此任一已提供资源出错的并集界至多 $100b\approx 0.00360876840$。这里无需把100个输出错误事件再假设为独立来使用并集界。

相关反例为：以概率 $5p$ 均匀选上述35个三错模式之一，以概率 $1-5p$ 不出错。每个位置出现在7个三元组里，其边际错误率为 $5p\cdot 7/35=p$。所有模式综合为零，故接受率1、条件逻辑错误率 $5p$。它不满足15份输入独立的条件，因此不受精确公式约束。

E题：有界工厂接入有界计算 ​

给定递推给出

$$p_1\le {10}^{-4},p_2\le {10}^{-6},p_3\le {10}^{-10}.$$

全部 ${10}^6$ 个逻辑Clifford位置的坏事件并集界为 ${10}^{-4}$。在装置无坏事件时，工厂与注入等同于D、C题的理想处理；原始资源独立于装置故障的假设保证不能把资源分布暗中条件化成更坏的相关分布。把三个风险相加：

$$P_{\mathrm{fail}}\le {10}^{-4}+100q^{10}+100b\approx 0.00370905579021<0.01.$$

这是在给定装置递推与位置上限下的完整预算。15000是原始资源态的最多数量；物理编码门数还要把每个逻辑位置乘以三级模块展开开销。不能把原始资源数、逻辑位置数和底层物理门数合并成同一个数字。

无限重试只有平均资源界，运行可能超过任何预先固定的位置上限，因而无法直接与 $T{p}_3$ 的固定 $T$ 账本相接。设置10批上限后，量子工作量有了最坏上限；没有资源的分支则明确记为失败而不是消失。

独立教学递推只需对下层失败对取并集。真实电路相邻exRec共享EC；若后面的exRec坏，就从前者的分析区域删去该共享区，再判前者好坏。否则同两个故障可被算成两个逻辑坏事件，错误地多出一个平方。带综合的理想解码器交换关系证明该截断保留计算含义；不重叠故障见证再给任意 $r$ 个指定逻辑坏位置的概率界 $(A{p}^2{)}^r$，使归约后的噪声仍满足原模型。仅知各位置边际坏概率小，并不足以进行下一层递归。

最后，三乘三环面模型公理库表面码的环面模型与错误链Surface code · Toric code以周期方格上的环面码为明确入口，数出两个逻辑qubit，逐边写出星与面检查，并用同综合不同绕行的例子区分局部缺陷和逻辑错误。有 $2L^2=18$ 个物理qubit，两类检查秩各8，所以编码2个逻辑qubit，不是平面常见补丁的1个。九qubit Bacon–Shor码公理库子系统量子码与规范自由度Subsystem quantum code把受保护逻辑因子与可变规范因子分开，写出子系统纠错条件，并在九qubit Bacon–Shor例子中核算规范生成元、中心、逻辑算子和测量顺序。有4条独立中心检查，码空间剩5个qubit自由度；其中4个是允许被规范测量改变的规范因子，只保护剩下1个逻辑因子。

验收清单 ​

• 检查正交性、秩、距离与逻辑算子，而不只报一个码名
• 同时证明理想电路正确与单故障传播受控；双qubit门故障只算一个位置事件
• 完整处理所有测量分支、前馈和失败停止分支
• 条件错误率、接受率、平均消耗与最坏消耗分别记账
• 区分有限电路枚举、相干线性扩展、真正阈值归约和已给定的教学参数
• 区分环面/平面边界、受保护逻辑/规范因子及固定横向酉/资源注入

可复算脚本 ​

下载标准库 Python 验证脚本。运行时不需第三方包，会核对带符号共轭、CSS与环面秩、cat单故障、四轮综合、规范逻辑算子、注入分支、全部32768个蒸馏相位模式，以及上述有限资源与错误预算。

脚本会报告每个检查的通过状态和具体计数。通过有限数值测试不代替正文给出的适用条件和证明。