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一个不稳定的分母，允许怎样的置信答案？ ​

读完多元正态理路多元正态分布Multivariate normal distribution · Multivariate Gaussian distribution · Jointly Gaussian vector以所有线性组合都正态刻画联合高斯向量，并由特征函数连接线性构造、退化支撑、全维密度与条件分布。、检验反演理路置信集合与检验的对偶Confidence set and test duality · Test inversion逐参数反演 level 检验得到覆盖置信集合，并由置信集合反构造点零假设检验。与Fieller 比值集合理路Fieller 比值置信集合Fieller confidence set · Fieller ratio interval · Fieller 比率置信集合在已知正定协方差的联合高斯实验中，不先除以随机分母，精确反演线性对比检验并返回完整的比值置信集合。后，你应能交出整个集合和它的概率依据。一个看起来很精确的小数、一个有限绘图区间或一个标准误，都不能代替这两项。

核心任务 ​

除另有说明，所有题目都使用精确模型

其中 $\mathrm{\Sigma }$ 是已知的估计量协方差。目标为 $r_{\ast }=a/b$。临界值统一为 $q=2$，对应约 $95.44997361\mathrm{\%}$ 覆盖。表中观测对按 分母、分子 的顺序 $(\hat{B},\hat{A})$ 给出。

A. 先交集合，再解释端点 ​

取 $\mathrm{\Sigma }=I_2$，分别处理 $(4,2)$、$(1,3)$、$(1,1)$、$(2,3)$。每一项须写出 $c_2,c_1,c_0,\mathrm{\Delta }$、具体分支、整个集合，并给出接受与拒绝判断；若某一类候选不存在，说明原因。若根是无理数，可以用根式表示；不能只在某个有限网格上筛点。

B. 把恰好等于零的分支做完 ​

仍用 $\mathrm{\Sigma }=I_2$，现在观测为：

1. $(\hat{B},\hat{A})=(-2,3)$
2. $(\hat{B},\hat{A})=(2,0)$
3. $(\hat{B},\hat{A})=(0,2)$

分别说明这是哪条半直线、哪种常数不等式、哪种重根情形。为什么观测分母等于零不意味着程序失败，而总体分母等于零意味着目标失败？

C. 相关性与样本量各改变了什么 ​

四对独立同分布的高斯原始观测具有已知协方差

分子、分母的估计是两坐标样本均值，观测为 $(\hat{B},\hat{A})=(4,2)$。

1. 输入 Fieller 公式的是 $V$ 还是 $V/4$？正确集合是什么？
2. 保留正确的两个边缘方差、但删掉交叉协方差，会得到什么集合？
3. 如果错把 $V$ 直接输入，会得到什么集合？错误出在哪个算术步骤？

D. 一份很像正确答案的错误报告 ​

有人对A中的第二份观测只搜索 $[-2,2]$，返回近似 $[0.633,2]$，并写：“负分母不合常识，所以删去负值分支；这是精确95%工具变量区间，任何sandwich协方差都可用。”逐条指出错误，分别落到集合表示、参数空间、校准概率或模型假设上。

E. 覆盖不等于比值估计一致 ​

取 $b_n=1/\sqrt{n}$、$a_n=2/\sqrt{n}$，精确估计协方差为 $I_2/n$。

1. 写出比值估计的极限分布，解释为什么它不趋于常数2
2. 证明同样取 $q=2$ 的 Fieller 集合在每个 $n$ 仍有相同精确覆盖
3. 如果现在仅知道对每个固定 $(a,b)$ 有CLT，能直接声称上面这条变化参数序列仍受同一保证吗？

完整解答 ​

A. 四种形状来自同一个不等式 ​

统一代入

第一份：有限闭区间。 系数为 $(12,-16,0)$，$\mathrm{\Delta }=256$。根为0与 $4/3$，开口向上，故 $C=[0,4/3]$。原式是 $(2-4r{)}^2\le 4(1+r^2)$。$r=1$ 给 $4\le 8$，$r=2$ 给 $36>20$。两个端点分别给 $4=4$ 与 $100/9=100/9$，所以都包括。

第二份：两条射线。 系数为 $(-3,-6,5)$，$\mathrm{\Delta }=96$。根排序后为

所以

这是开口向下的抛物线，零以下在两根外侧。由 $3e_{\pm }^2+6e_{\pm }-5=0$，原式左右相减 $5-6e_{\pm }-3e_{\pm }^2=0$，两个根都真正满足边界等号。$r=-3$ 给 $36\le 40$，$r=0$ 给 $9>4$，$r=1$ 给 $4\le 8$。不能因为有一个空隙，就把输出压缩成单一区间；也不能因为左右无界，就误报全实轴。

第三份：全实轴且处处严格。 系数为 $(-3,-2,-3)$，$\mathrm{\Delta }=-32$。完成平方得

因此每个有限 $r$ 都接受，没有被拒绝的候选。

第四份：正向半直线。 系数为 $(0,-12,5)$，$\mathrm{\Delta }=144$。判别式虽正，最高项已经为零，不能调用二次求根公式。$-12r+5\le 0$ 给 $C=[5/12,\mathrm{\infty })$。端点代回 $(3-2r{)}^2\le 4(1+r^2)$，两侧同为 $169/36$。$r=0$ 被拒绝，$r=1$ 被接受。

这些形状属于同一个置信程序的不同抽样结果，不是观察数据后从四种校准中挑一种。

B. 半直线、常数与重根 ​

负方向半直线。 $(-2,3)$ 给系数 $(0,12,5)$，所以

在端点，$(3+2r{)}^2$ 与 $4(1+r^2)$ 同为 $169/36$。$r=-1$ 接受而 $r=0$ 拒绝。符号相反时应反向保留半直线，不应把负值部分删掉。

常数为负。 $(2,0)$ 给 $p(r)=-4$，$c_2=c_1=0$，全实轴处处严格接受。按一般求解规则，常数为零同样全接受，常数为正才为空集；但后两种常数情形不能从本页这个正定已知协方差实验得到。

向下抛物线的重根。 $(0,2)$ 给 $p(r)=-4r^2$，$\mathrm{\Delta }=0$，仍为全实轴。在 $r=0$ 恰取等号，其余点严格小于零。把“重根”一律解释成“只有那个点被接受”，就混淆了开口方向。

观测 $\hat{B}=0$ 时，$\hat{A}-r\hat{B}$ 和其正方差仍对所有候选有定义；比如本题只留下了常量分子2。总体 $b=0$ 则使目标 $a/b$ 不存在，这是 estimand 的问题，不能用改变求解器来修复。

C. 两个看似小的替换，得到两个不同错误答案 ​

样本均值的协方差为

正确系数为 $(12,-12,0)$，所以 $C=[0,1]$。交叉项计算为 $2q^2{\sigma }_{AB}=2(4)(1/2)=4$，将原来的 $-16$ 改成 $-12$。

如果删去协方差，系数回到 $(12,-16,0)$，给出错误的 $[0,4/3]$。例如 $r=4/3$，正确原式左右为 $100/9$ 与 $52/9$，本应拒绝。

如果错用原始 $V$，系数变为 $(0,0,-12)$，便误报全实轴。四倍过大的估计量方差把所有候选都放进来；这不是数据真的没有信息，而是输入协方差定标错误。均值协方差应除以4，相关系数却不会因这次定标改变。

D. 每一句分别找出被改变的对象 ​

1. 在 $[-2,2]$ 上搜索只见到正向射线的一段。真实负向射线全部位于 $e_{-}<-2$，而正向射线继续超过2。正确输出必须保留两个无穷延伸
2. 负的候选比值不等于负的总体分母；比值符号同时取决于分子与分母。事后删除某些结果或候选，不是原先反演程序。若科学上事先限定 $r\ge 0$，可以在明确的新参数空间中与 $[0,\mathrm{\infty })$ 相交，但必须保留 $[e_{+},\mathrm{\infty })$，且说明限制从哪里来
3. $q=2$ 的已知协方差高斯校准是 $2\mathrm{\Phi }(2)-1\approx 0.9544997361$，不能直接标成精确95%
4. 公式能够放入sandwich不证明该矩检验精确。必须说明线性矩的抽样分布、方差估计及所需点态或统一校准；IV的识别假设还要独立成立

E. 同一个误差尺度，解释两种不同结论 ​

可写

其中 $Z_A,Z_B$ 独立标准正态。因此对每个 $n$，比值分布已经是 $(2+Z_A)/(1+Z_B)$。它不是随 $n$ 收缩到2的分布：误差等于 $(Z_A-2Z_B)/(1+Z_B)$，保持非退化，分母可以任意接近零。观测分母为零在此精确连续模型中概率为零；可以在该零概率事件预先赋固定值来定义整个估计量。

而在真实候选 $r_{\ast }=2$ 处，

所以每个 $n$ 都有

覆盖可以精确而集合不能稳定缩成一点；诚实表达低信息，正是允许无界集合的原因。这里依据的是每个 $n$ 的明确精确高斯实验。对固定参数点成立的CLT没有自动覆盖随 $n$ 移动的参数，若要迁移，须另证相应局部序列或统一检验校准。

自行复算 ​

标准库读数器默认输出八个实验与所有求解分支检查。运行 python fieller-confidence-set-reader.py，再用 python -O fieller-confidence-set-reader.py 检查测试不会因优化模式关闭断言而消失。

自定义输入文件采用以下结构，矩阵按分子A、分母B排列：

{
  "Ahat": 3,
  "Bhat": 1,
  "covariance": [[1, 0], [0, 1]],
  "q": 2,
  "model": "known_covariance_gaussian",
  "covariance_scale": "estimator",
  "population_denominator_nonzero": true,
  "candidates": [-3, 0, "5/12", 1, "4/3", 3]
}

用 python fieller-confidence-set-reader.py --input request.json 读取。小数用字符串，例如 "0.5"；分数用 "1/2"。读数器拒绝JSON浮点数，避免把二进制近似误叫作十进制精确输入。临界值是输入的 $q$，不是覆盖率；输出同时给出覆盖公式与数值近似。这里不包含从原始数据估计未知协方差的步骤。

区间的无界一端用 null 表示，有限端点有精确有理数或根式，以及仅供阅读的十进制。根式结构和原不等式代回决定答案，十进制不用于选择分支。population_denominator_nonzero 是使用者声明的模型条件，程序不能从一份样本验证它；可选的 population_denominator 若被指定为0，会明确拒绝未定义目标。

验收标准 ​

能解释每个端点为何包含、两个无界方向为何不能截断、协方差的哪个元素改变了哪个系数；能以真值处的一个正态事件证明覆盖；能把“未知方差插件”“总体分母为零”“有限绘图窗口”分别归到校准、目标、表示三种不同问题。最后必须报告整个集合，而不是只报告点估计或最靠近点估计的那一块。