Fieller 比值置信集合

通常的比值算法先问“两个估计相除等于多少”。Fieller 先问“假如真实比值是 $r$，分子减去 $r$ 倍分母是否与零相容”。后一问只需要线性组合；即使观测分母恰好为零，仍可提问。

每个 $r$ 都有自己的对比方差 $v(r)$。当 $|r|$ 很大时，方差也含 $r^2{\sigma }_{BB}$：分母的不确定性不会因为我们把它放到除号下面就消失。这解释了为什么数据有时必须容许任意大的正、负比值。

$c_2>0$ 等价于 $|\hat{B}|>q\sqrt{{\sigma }_{BB}}$，也就是同一临界值构成的分母区间不含零。在本实验中它恰对应有界集合。若分母区间跨过零，结果必无界；至于是两条射线还是全实轴，还要看分子和协方差，不能仅靠分母决定。恰好碰到零的等号情形可能给半直线。

图中的蓝线是 $p(r)$，绿色表示 $p(r)\le 0$ 的全部比值，红色表示被拒绝部分。曲线只画局部，但下方集合用箭头表达无界延伸；不能把画面左右边缘当作置信界。

四份观测，四种形状 ​

下面都用估计量协方差 $\mathrm{\Sigma }=I_2$ 与 $q=2$。其精确覆盖是

即约 $95.45\mathrm{\%}$，不是恰好 $95\mathrm{\%}$。选择2只是为了让端点便于手算；要做 $95\mathrm{\%}$ 程序，应使用 ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(0.975)\approx 1.9599639845$ 并重新计算系数，不能只改报告标签。以下有序对统一按 $(\hat{B},\hat{A})$ 写，方便先看分母。

1. $(4,2)$：$p(r)=12r^2-16r=4r(3r-4)$，所以 $C=[0,4/3]$。代回原式，$r=0$ 给 $4=4$，$r=4/3$ 给 $100/9=100/9$；$r=1$ 被保留，$r=2$ 被拒绝
2. $(1,3)$：$p(r)=-3r^2-6r+5$，$\mathrm{\Delta }=96$。令 $e_{\pm }=-1\pm 2\sqrt{6}/3$，则

$r=0$ 在原式中给 $9>4$，被拒绝；$r=1$ 给 $4\le 8$，被保留；$r=-3$ 给 $36\le 40$，也被保留。两个相距很远的可接受部分之间确实有一个不接受的空隙，不能把它们补成一个有限区间 3. $(1,1)$：$p(r)=-3r^2-2r-3=-3(r+1/3{)}^2-8/3<0$，所以 $C=\mathbb{R}$。全实轴表示这次数据没有排除任何有限比值；覆盖是整个程序重复抽样的性质，不是说此刻每个数都为真 4. $(2,3)$：$c_2=0$，$p(r)=-12r+5$，所以 $C=[5/12,\mathrm{\infty })$。在端点，原式两侧同为 $169/36$；$r=0$ 不接受。机械套二次求根公式会除以零，并丢掉这条合法半直线

相关性真的会移动端点 ​

仍取 $(\hat{B},\hat{A})=(4,2)$，但已知协方差改为

此时 $v(r)=1-r+r^2$，得到 $p(r)=12r^2-12r$，所以 $C=[0,1]$。在 $r=1$，原不等式给 $4=4$；在 $r=4/3$，左侧 $100/9$ 大于右侧 $52/9$。忽略交叉协方差会错误地保留后一个候选值。本例正相关缩短了这个区间，不意味着正相关对每种观测都单调缩短所有集合。

弱分母破坏的是哪一步 Delta 近似 ​

Delta 方法理路Delta 方法Delta method用可微映射的一阶 Taylor 展开传播估计量的渐近分布与协方差。在固定 $b\ne 0$ 处线性化 $g(a,b)=a/b$，梯度为 $(1/b,-a/b^2)$。Fieller 不线性化这个除法，而是对每个候选 $r$ 检验线性对比；两种程序在强分母下可有相近的首阶行为，但这里的精确保证来自式(1)的高斯枢轴。

具体考虑一列实验：$b_n=c/\sqrt{n}$、$a_n=r_{\ast }c/\sqrt{n}$，其中固定 $c\ne 0$，且

为使每个有限样本的随机比值处处有定义，在 ${\hat{B}}_n=0$ 时预先赋任意固定有限值。由 $\sqrt{n}{\hat{B}}_n\Rightarrow c+Z_B$ 及其连续分布，$P({\hat{B}}_n=0)\to 0$，这项延拓不改变极限。由于 $P(c+Z_B=0)=0$，连续映射给

极限一般既不集中到 $r_{\ast }$，也不是中心正态。在 ${\hat{B}}_n\ne 0$ 的事件上，精确误差恒等式说明原因：

固定非零 $b$ 时，最后的比例误差趋零，最后一个因子趋一；这里 $({\hat{B}}_n-b_n)/b_n\Rightarrow Z_B/c$，并不趋零。失败的是把随机分母替换为总体分母的统一余项控制，不是“正态变量相除还是正态”。对每个固定非零 $b$ 成立的 Delta 定理，不能直接沿 $b_n\to 0$ 的序列使用。

如果每个 $n$ 的实验本来就精确高斯且协方差 $V/n$ 已知，式(3)沿上述序列仍逐个 $n$ 精确成立。式(5)前已经明确假设了这一条局部参数序列上的联合极限，它本身不由固定参数处的点态 CLT 自动推出；单条序列的极限也没有验证任意协方差插件或整个弱分母参数族上的统一校准。$b=0$ 时 $a/b$ 根本无定义；任何区间方法都不能凭空补出这个目标。

常见的报告错误 ​

• 把两条射线截在绘图网格的最左、最右值，会删掉原检验接受的候选比值
• 看到 $\hat{B}<0$ 就删除这份实验，增加了数据筛选。即使科学上事先知道 $b>0$，也不应据估计符号丢弃抽样结果
• 用原始观测协方差代替均值协方差，会把方差尺度错放一个 $n$
• 把所有未知协方差插件都配上正态分位数，不能继承已知协方差的精确证明
• 浮点计算得到极小的 $c_2$ 后随意归零，可能把巨大有界区间改成半直线。数值分支必须与所声明输入精度一致

精确覆盖的完整证明 ​

第一步，检查除数合法。 对任意有限候选 $r$，向量 $(1,-r)$ 非零。正定性给

因此 $T_r$ 对每个候选都有定义，式(2)中的平方变形也不会改变不等号方向。

第二步，在真值下求分布。 固定真实参数 $(a,b)$，令 $r_{\ast }=a/b$。联合高斯的线性变换给

除以已知的正标准差，得到 $T_{r_{\ast }}\sim N(0,1)$。这个分布不含 $b$ 的大小或符号；同一候选比值对应的所有非零分母 nuisance 值都已经被控制。

第三步，使用同一个事件。

反演虽保留全部候选，覆盖只计算真值那个检验未拒绝的概率，无须对无穷多个候选作并集界。最后展开平方即得式(4)，故完整解二次不等式只是同一个置信集合的另一种表示。

为什么有效输入不会产生空集 ​

若 $\hat{B}\ne 0$，取 $r=\hat{A}/\hat{B}$，则 $p(r)=-q^{2}v(r)<0$。连续性还保证它附近有一整段被接受，因此不是空集或单点。这里的除法只用于存在性证明，计算程序不依赖它。

若 $\hat{B}=0$，则 $c_2=-q^2{\sigma }_{BB}<0$，$p(r)\to -\mathrm{\infty }$ 当 $|r|\to \mathrm{\infty }$；足够远的两端都被接受。由此在有效模型里，$c_2>0$ 必有 $\mathrm{\Delta }>0$。当 $c_2=c_1=0$ 时，${\hat{B}}^2=q^2{\sigma }_{BB}>0$，而

所以只可能为全实轴。一般求解器的空集与单点分支有助于检查算法，但不能当成本实验的普通统计现象。

工具变量：迁移的是检验反演 ​

在工具变量识别理路工具变量识别Instrumental variable identification · IV identification · LATE identification在随机工具、排除限制、单调性与相关性条件下，由 Wald 比率识别服从者局部平均效应。的假设下，记工具对结果与处理的总体均值差为 ${\tau }_Y,{\tau }_D$，${\tau }_D\ne 0$，目标为 ${\tau }_Y/{\tau }_D$。对候选 $r$，检验的线性矩是

可先把结果改为 $Y-rD$，再检验工具对这个变换后结果的均值差是否为零。估计对比是 ${\hat{\tau }}_Y-r{\hat{\tau }}_D$；若其协方差矩阵可用，方差包含 $-2r{\hat{\sigma }}_{YD}$，不能丢掉相关项。整个过程不需要先除以估计 first stage。

给每个候选配一个满足所需 size 保证的检验，保留所有未拒绝者，即得到相应覆盖保证。这一迁移不自动证明有限样本精确 IV 推断：随机分配、异方差、聚类、协变量调整、估计协方差与弱工具序列，各自影响线性矩检验的校准。一般 sandwich 加点态 CLT 不自动提供弱工具下的统一 size。识别假设失效时，即使矩检验算术完全正确，也不能把结果解释成原先的因果效应。

可复算的终点 ​

完成弱分母验收题及完整答案：除了四种形状，还要求解负方向半直线、相关协方差迁移、原始数据与估计量的样本量定标，并辨认一个声称精确的 IV 报告究竟缺什么。

下载标准库读数器。它用有理数精确计算系数、判别式、分支与候选值代回；无理端点保留根式，十进制只供阅读。默认运行包含等号与失败分支检查；自定义输入用 --input request.json。它不检验数据是否真的高斯、协方差是否真的已知或总体分母是否非零，这些统计条件仍须由使用者论证。