两步LQG控制终点：输入、信息与成本 ​

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只看带噪声的读数，也可以给出可核验的最优控制。这个终点要求同时交出三样东西：能实际执行的输入、覆盖所有允许策略的理由，以及独立于最优值公式的成本账本。

先读离散 LQR 的有限配平方理路离散时间线性二次调节器Discrete-time linear quadratic regulator · Discrete-time LQR从保持输入的精确采样出发，用有限时域配平方及稳定DARE解构造离散二次最优反馈。、Kalman 过滤理路Kalman 滤波器Kalman filter · 卡尔曼滤波器在线性高斯状态空间模型中递推计算状态预测与过滤分布均值、协方差及似然的算法。与条件期望的正交性理路条件期望Conditional expectation以信息分组的加权平均建立条件期望直觉，再连接测度定义、最小均方预测、塔式性质和可计算反例。，再进入有限时域 LQG 最优性定理理路有限时域LQG的最优输出反馈Finite-horizon LQG output feedback · 有限时域线性二次高斯控制 · LQG估计与控制分离在有限时域线性高斯模型中，证明任意因果观测策略下的协方差不变性，并用配平方与条件正交构造最优输出反馈、计算信息代价。。不需要先掌握稳态 DARE、连续时间随机微积分或一般部分可观测决策理论。

一套固定的两步模型 ​

取 $t=0,1$，系统为

初态 $x_0$ 和 $w_0,w_1,v_0,v_1$ 相互独立且均为 $N(0,1)$。每次先看见 $y_t$，再选择 $u_t$，然后才有新过程噪声进入下一状态。目标是

策略可以是观测历史的任意有限值 Borel 函数，只需实际输入平方可积。不能读取 $x_t$，也不能提前读取 $y_1$。本页没有状态和输入约束。

符号约定：$P_t,H_t,K_t$ 属于控制侧，$G_t,{\mathrm{\Sigma }}_t,m_t$ 属于估计侧，且 $u_t=-K_t{m}_t$。终端是 $P_2=1$；观测前的初态先验是 $m_0^{-}=0,{\mathrm{\Sigma }}_0^{-}=1$。

任务一：把两套递推接成可执行控制器 ​

1. 从 $P_2=1$ 反向计算 $H_1,K_1,P_1,H_0,K_0,P_0$，说明为什么每次除法合法
2. 从初始先验正向计算 $G_0,{\mathrm{\Sigma }}_0,{\mathrm{\Sigma }}_1^{-},G_1,{\mathrm{\Sigma }}_1$，说明预测为什么要加过程方差
3. 读数为 $y_0=2,y_1=1$ 时，依次给出 $m_0,u_0,m_1^{-},m_1,u_1$。在式子里圈出已实施的 $u_0$
4. 分别回答：控制增益、误差协方差、条件均值中，哪些依赖这一次的读数？

任务二：用两条独立路径核算成本 ​

先用定理的成本分解，分别算全状态可见成本、两个时刻的信息代价和总成本。再把每个状态、输入写成原始向量

的线性式，仅靠原始量的独立性与方差求二阶矩。第二条路径中不要引用最优值公式。

继续测试一种真实的错误策略：直接令 $u_0=-3y_0/5,u_1=-y_1/2$。为这条策略重新生成 $x_1,y_1,x_2$，不能沿用正确策略生成的中间状态。求其成本及超额成本。

任务三：解释为什么没有更好的非线性策略 ​

这道题不能用“两次矩阵乘法都算对了”替代证明。请补齐以下三处，并说明每处假设的作用：

1. 固定任意因果策略，归纳证明给定已见历史后的状态仍高斯，协方差不随策略改变。为什么 $u_{t-1}$ 在预测时是已知平移量？为什么这不等于整个闭环联合高斯？
2. 对逐期 LQR 配平方式取期望，再求和，写出每一项过程噪声留下的迹。哪一个独立性让交叉项消失？
3. 令 $e_t=x_t-E[x_t\mid {\mathcal{I}}_t]$，对可见的 $u_t+K_t{m}_t$ 应用条件正交。为什么必须先知道 ${\mathrm{\Sigma }}_t$ 不依赖策略，才可把它当作共同常数？最后核验平方零点确实可因果实施

任务四：信息质量迁移与有限时域边界 ​

只把第二次测量噪声方差改成 $4$，仍保持原始五个量相互独立高斯。

• 哪些控制量完全不变？重算 $G_1,{\mathrm{\Sigma }}_1$
• 对相同读数 $2,1$，重算 $m_1,u_1$
• 用成本分解及原始噪声加权平方和，各算一次新期望成本。解释为何两条方法都必须修改 $v_1$ 的方差
• 进一步取 $N=1,A=2,B=C=0,Q=R=P_f={\mathrm{\Pi }}_0=V_0=1,W_0=0,{\mu }_0=0$。系统既不可控又不可观；有限最优输入和成本是否仍存在？

任务五：把高斯先验换成两个可能状态 ​

取一阶段系统 $x_1=x_0+u_0$，$x_0$ 等概率为 $\pm 1$，$v\sim N(0,1)$ 与它独立，$y=x_0+v$，成本仍是 $E[x_0^2+u_0^2+x_1^2]$。

从两个似然直接算 $E[x_0\mid y]$，不要套高斯条件公式。条件于 $y$ 配平方，写出真正最优控制；再比较仅凭均值方差使用 Kalman 得到的控制。回答：这个例子否定了“线性 Kalman 仍精确”，还是否定了“条件均值反馈仍最优”？

下载、复算与来源核对 ​

下载 Python 标准库核验器。保存后运行：

python foundations-lqg-checker.py
python foundations-lqg-checker.py --v1 4 --observations 2 1
python foundations-lqg-checker.py --v1 3/2 --observations -1/2 3

它用精确分数分别计算 Riccati 成本与原始噪声成本，并检查估计误差对可见量的正交性；无需 NumPy、联网或随机仿真。可改变第二次测量方差和两次读数，不能藉此改变模型其他部分。零或负的测量方差会被拒绝，因为脚本按主定理所选的严格正定观测条件验收。内置检查不用可被优化模式删除的断言，python -O 也会执行全部检查。非高斯例的 tanh(1) 与成本差标为浮点评估，精确公式和严格劣化理由仍在正文。

全部数值通过，只完成了算例核验。交卷还需写明下列来源与当前结论的对应条件：

• MIT 6.231 Lecture 6，第3、6–13页：信息历史、估计误差与控制的分离；第13页还区分非高斯条件均值与 Kalman 估计。本题用自己的条件高斯归纳证明策略无关协方差
• Stanford EE363 Lecture 10，10–2至10–15页：有限 LQG 与成本分解。源的反馈增益带负号；本题把负号写在控制律前。后续无限平均成本不是本题的有限总成本
• Georgiou–Lindquist，2013，pp.2483–2485，Remark 4、6：未经证明的控制独立性和连续时间形式外推为何危险。本题依靠离散时序逐步生成轨迹，不把连续时间论文中的更强结果当成免费前置

能同时给出数值、证明条件和失效位置，才算完成这个终点。