找到了根，再证明没有漏掉

本终点把区间线性包围、区间Newton和Krawczyk算子接成可检查的根证书，再用完整覆盖树完成全域计数。Newton–Kantorovich定理提供另一条认证路线：从起点数据控制整条精确Newton轨道。

所有展示的有限小数都是精确有理端点；只有带“约”字的近似定位用于读图。核心证书不调用机器浮点指数，也不借助密集采样证明区域无根。

任务一：先分清数据在变，还是答案在变

考虑

\boldsymbol A= \begin{pmatrix}1&[-1/5,1/5]\\{}[-1/10,1/10]&1\end{pmatrix}, \qquad b=(1,1)^{\mathsf T}.

要求给出全部合法矩阵的解包围，并检验一个向量是否真的能由某组数据产生。取 $C=I$ 、 $x_0=(1,1)^{\mathsf T}$ ，得到

G=\begin{pmatrix}0&1/5\\1/10&0\end{pmatrix},\quad z=(1/5,1/10)^{\mathsf T},\quad r=(11/49,6/49)^{\mathsf T}.

直接相乘可核 $z+Gr=r$ ，且 $G(1,1)^{\mathsf T}<(1,1)^{\mathsf T}$ 。于是每个合法矩阵都可逆，其唯一解落在

[38/49,60/49]\times[43/49,55/49].

这张盒包含所有解，但盒中每点未必都能实现。例如点 $(1,55/49)$ 在盒中，Oettli–Prager第二行却要求 $6/49\le1/10$ ，不成立。反过来， $(60/49,55/49)$ 对两个非对角元分别取 $-1/5,-1/10$ 就能达到。这个比较把“外包围”与“真实解集成员”分开。

迁移时若两个系数来自同一参数，必须保留这种关系，或承认独立区间放宽了问题。标量 $a=b\in[1,2]$ 的解只能是 $1$ ，放宽成两个独立数据后则得到 $[1/2,2]$ 。

任务二：给平方根两种不同的承诺

对 $f(x)=x^2-2$ ，以 $X_0=[1,2]$ 的中点计算区间Newton，前两步为

X_1=[11/8,23/16],\qquad X_2=[181/128,3983/2816].

导数区间每次都严格为正，修正盒又严格落在原盒内，所以存在唯一性随第一次成功就已经建立。继续缩盒只是在提高位置精度。

若改问“从 $x_0=3/2$ 出发的精确Newton轨道是否受控”，则用

\beta=1/12,\quad L=2/3,\quad h=1/18,\qquad r_-=3/2-\sqrt2,\quad r_+=3/2+\sqrt2.

标量控制多项式是 $p(t)=1/12-t+t^2/3$ 。从 $t_0=0$ 迭代，有 $x_k=3/2-t_k$ ，故 $r_--t_k$ 正好等于实际误差。另一根 $-\sqrt2$ 恰位于大球边界，验证了唯一半径必须写成开球。

左侧控制多项式有两个半径，右侧展示临界半径处控制序列只线性接近；所有曲线按所标参数绘制 — 控制序列、存在半径与临界边界

图左为便于看清两个交点，另取 $L=1,\beta=0.3$ ；它展示同一个控制机制，不是把这一参数冒充平方根任务的数据。图右使用正文临界模型 $F(x)=x-x^2/2-1/2$ ，轨道为 $1-2^{-k}$ 。

任务三：认证整个矩形内恰有两个交点

给定

F(x,y)=\binom{x^2+y^2-1}{y-e^x/2},\qquad D=[-1,1]\times[0,2].

图上交点约在 $(-0.982318,0.187221)$ 与 $(0.529003,0.848620)$ 。任务不是把小数再多算几位，而是交付两张存在唯一性证书，以及覆盖整个 $D$ 的无遗漏证据。

指数如何也由有理数包住

对 $0\le t\le1$ ，令

S_N(t)=\sum_{k=0}^N\frac{t^k}{k!},\qquad R_N(t)=\frac{t^{N+1}}{(N+1)!}\frac1{1-t/(N+2)}.

从第一项遗漏项开始，后续项的相邻比至多为 $t/(N+2)$ ，故正项尾和不超过这个几何级数。于是

S_N(t)\le e^t\le S_N(t)+R_N(t). \tag{1}

对负 $t$ ，把正数 $e^{-t}$ 的包围取倒数；对区间 $[a,b]$ ，利用指数单调性分别包住端点。脚本取 $N=18$ ，以Fraction精确完成所有加乘除。式(1)所需参数范围由 $D$ 保证；更宽的指数输入要重新给尾界或先做范围缩减。

两张局部证书

使用

B_-=[-0.983,-0.981]\times[0.186,0.188],\qquad C_-=\frac1{1000}\begin{pmatrix}-528&198\\-99&1037\end{pmatrix},

B_+=[0.528,0.530]\times[0.848,0.850],\qquad C_+=\frac1{1000}\begin{pmatrix}400&-680\\340&423\end{pmatrix}.

各盒中心为 $c$ ，半径都是 $r=(0.001,0.001)$ ，而

DF(x,y)=\begin{pmatrix}2x&2y\\-e^x/2&1\end{pmatrix}.

按 $K=c-CF(c)+(I-C\boldsymbol J(B))[-r,r]$ 计算，得到可靠外包围

\begin{aligned} K_-&\subset[-0.9823206,-0.9823149]\times[0.1872201,0.1872219],\\ K_+&\subset[0.5290003,0.5290069]\times[0.8486169,0.8486226]. \end{aligned} \tag{2}

显然 $K_-\subset\operatorname{int}B_-$ 、 $K_+\subset\operatorname{int}B_+$ ，且两个原盒不交。它们各有一个根，并且两个根不同。展示式(2)的十进制端点已向外放宽；下载结果另存精确分数，验证器也检查展示盒没有截去真实Krawczyk包围。

左侧圆与指数曲线在目标矩形中的两个交点，右侧按各自中心和半径归一化显示Krawczyk像严格落在根盒内部 — 全局交点与局部严格内包含

图中局部坐标是 $(x-c_x)/r_x,(y-c_y)/r_y$ 。绿色像盒的位置来自实际有理证书；由于它们相对原盒很小，图用引线和放大标记帮助辨认，没有把视觉宽度当作精确数值证据。

还要交代其余区域

覆盖树从整个 $D$ 出发，每次沿最长边的中点一分为二。无根叶保存一个不含零的分量区间；已覆盖叶保存一个 $B_\pm$ 编号，并严格位于该盒内部。验证器从父盒重新生成两子盒，禁止凭空省掉一支。

本次实际结果是93个内部节点、90个无根叶、4个已覆盖叶，最大深度24。有限满二叉树满足 $93+1=90+4$ ，总节点数187；这个计数恒等式只是结构检查，真正覆盖性仍逐个父子节点核对。没有未决叶，所以连同两张局部证书，结论是 $D$ 内恰有两个根。

独立的手算交叉检查可以消去 $y$ ，得到 $\phi(x)=x^2+e^{2x}/4-1$ 。它满足 $\phi(-1)>0$ 、 $\phi(0)=-3/4<0$ 、 $\phi(1)>0$ ，并且 $\phi''(x)=2+e^{2x}>0$ 。介值性给出左右各一根，严格凸性排除第三根；相应 $y=e^x/2$ 都落在 $[0,2]$ 。这帮助解释图像，但公开覆盖证书没有以该消元结论代替对二维区域的检查。

复算、损坏测试与迁移边界

下载标准库验证脚本、有限覆盖树和本次结果。只需Python 3，不必安装数值包。保存三个文件到同一目录后运行：

python foundations-interval-root-certificates.py --verify foundations-interval-root-tree.json
python foundations-interval-root-certificates.py --output my-results.json --certificate my-tree.json

第一条只重放已保存证书，不重新猜根或搜索；第二条重建本页固定问题，并运行区间端点、指数嵌套包围、线性成员构造及Newton例子的测试。脚本返回8类损坏证书的拒绝记录，包括变更目标域、删除子树、错误根盒、零预条件矩阵、虚假覆盖、虚假排除、未决叶以及重复根盒。把节点处理预算改为5时，它保留6个未决叶，不报告完整根数。

迁移到其他方程时，应先替换函数及Jacobian的可靠区间求值，重新验证特殊函数的输入范围，再构造局部盒及全域树。重根、边界根、参数相关性和固定精度平台都可能需要不同证书。这里的Fraction实现核验的是正文数学与给定证书，未声称覆盖任意外部程序、硬件故障或任意输入函数。

完成后可返回“从近似零点到完整区间证书”学习路线，按每张证书需要的对象与证明工具复习对应条目。

找到了根，再证明没有漏掉 ​

任务一：先分清数据在变，还是答案在变 ​

任务二：给平方根两种不同的承诺 ​

任务三：认证整个矩形内恰有两个交点 ​

指数如何也由有理数包住 ​

两张局部证书 ​

还要交代其余区域 ​

复算、损坏测试与迁移边界 ​