Newton–Kantorovich半局部收敛定理

标量二次函数 $p$ 的两个根就是两个半径。小根是总允许行程：每个Newton步的长度由标量一步覆盖，全部步长之和不超过 $r_{-}$。大根控制另一种风险，即离当前根更远的地方可能出现第二个根。

起点残差经过 $A_0^{-1}$ 变成一次校正尺度 $\beta$；$L$ 衡量沿这段校正走出去时，线性化会变化多快。乘积 $h=L\beta$ 无量纲，比较的是初始缺口和非线性弯曲能否相互抵消，而非只比较一个裸残差阈值。

图左用 $L=1,\beta =0.3$ 展示两个半径；图右用本页下方的临界重根模型。两组参数有意分开，严格判据不包含右图的 $h=1/2$ 情形。

证明：标量界怎样让Newton一直走下去 ​

令 $G=A_0^{-1}F$，则 $DG(x_0)=I$。左乘可逆常矩阵不改变根，也不改变Newton步，因为 $DG(x{)}^{-1}G(x)=DF(x{)}^{-1}F(x)$。

当 $\Vert x-x_0\Vert \le t<r_{-}$ 时，式(2)给 $\Vert I-DG(x)\Vert \le Lt<1$。几何级数于是给出

沿线段积分式(2)，还得到余项界

标量部分只需直接展开二次式：若 $0\le t<r_{-}$，记 $u=t+p(t)/(1-Lt)$，则 $t<u<r_{-}$，且

由此 $t_k$ 单调趋向 $r_{-}$。现在归纳维持两个不变量

起点由假设满足。式(6)使下一步可解，且步长至多 $p(t_k)/(1-L{t}_k)=t_{k+1}-t_k$。Newton线性项被抵消后，式(7)与式(8)又给 $\Vert G(x_{k+1})\Vert \le p(t_{k+1})$，因此不变量闭合。步长的标量尾和收敛，故 $x_k$ 是Cauchy列；极限留在闭小球中，连续性及 $p(t_k)\to 0$ 给出 $F(x_{\ast })=0$，尾和也就是式(4)。

为什么唯一半径是开的大球 ​

若 $F(y)=F(x_{\ast })=0$，且 $\Vert y-x_0\Vert <r_{+}$，沿 $x_{\ast }$ 到 $y$ 的线段积分，令 $H={\int }_0^{1}DG(x_{\ast }+s(y-x_{\ast }))ds$。有

所以 $H$ 可逆，$y=x_{\ast }$。这里真正用到严格不等式；不能把最后的大开球随意改成闭球。

平方根：误差控制恰好可取等 ​

取 $F(x)=x^2-2$、$x_0=3/2$。有 $A_0=3$、$\beta =1/12$、$L=2/3$，所以

式(2)在整条实线上成立。第一次Newton步给 $x_1=17/12$，而 $t_1=1/12$；第二次给 $x_2=577/408$。直接代入可核 $x_k=3/2-t_k$，于是 $x_k-\sqrt{2}=r_{-}-t_k$：控制尾界在这个例子中恰为实际误差。

另一根 $-\sqrt{2}$ 到起点的距离恰等于 $r_{+}$，说明大球边界确实可能出现第二根。唯一性定理必须保留开球。

阈值处为何不能继续保证二次速度 ​

考虑 $F(x)=x-x^2/2-1/2$，$x_0=0$。这里 $A_0=1$、$\beta =1/2$、$L=1$，处在 $h=1/2$ 的临界值。Newton轨道精确为

它趋向重根 $1$，但只有线性速度；式(5)中的 $d$ 此时为零，不能再用同一二次常数。若把常数项改成 $-\beta$，取 $\beta >1/2$，则 $x-x^2/2-\beta$ 处处为负，根甚至不存在。这说明对仅给出这组界的数据，阈值限制有实际内容。

本页严格版本未声称每个 $h\ge 1/2$ 的具体问题都失败；很多函数仍能收敛，只是这些粗界没有给出当前证书。若式(2)只在很小区域成立，也不能先算出较大的 $r_{+}$，再忽略球必须留在已验证区域中的条件。

式(4)可作认证停止准则：只要可靠地算得 $r_{-}-t_k\le \epsilon$，即得指定范数下的误差界。计算小半径时可改写 $r_{-}=2\beta /(1+d)$，避免 $1-d$ 在小 $h$ 下的消去。有限精度实现仍须把逆范数、Lipschitz上界和标量根式计算的误差纳入；纸面精确Newton定理也不自动证明任意近似线性求解器的轨道遵守式(4)。

单次Newton步的成本由原算法承担，稠密情形通常为 $O(n^3)$；求出可靠的 $L,\beta$ 可能比更新本身更难。Krawczyk盒证书理路Krawczyk算子Krawczyk operator · Krawczyk root certificate把近似逆、中心残差和区间Jacobian组合成根包围，由严格内包含推出加权压缩、存在唯一性，并区分弱包含与未决结果。不追踪整条Newton轨道，而在一个候选盒上检查预条件后的区间Jacobian。两种证书分别回答“这个起点的精确迭代受控吗”和“这个盒内确有唯一根吗”。