区间根覆盖证书

找到两个交点，回答的是“至少有两个”。要回答“恰有两个”，还需检查所有没有画出的地方。覆盖树把整个矩形逐块交代：这块某条方程不可能等于零；那块完全落在已证明只含一个根的盒里。每一次分割都记住两个孩子，检查者不必相信搜索程序没有悄悄跳过一片区域。

同一根附近可能出现好几个已覆盖叶。它们共用一个根盒编号，根数仍只计一次。相反，两张相交的局部根证书可能指向同一个根，所以本页从输入就要求候选根盒互不相交。

完备证书为何推出精确根数 ​

每个局部证书给出一个根，盒子两两不交，故至少有 $m$ 个不同根。对任意 $x\in D$，从树根沿包含它的子盒下行，有限树最终到达某个叶子；若 $x$ 在分割边界，可以任选包含它的孩子。无根叶不可能含零点，已覆盖叶中的根只能是对应 $B_j$ 中的唯一根。因此没有第 $m+1$ 个根。

验证器可以从父盒和分割坐标重新生成子盒，而不接受子盒自行声称的端点。这让“无缝覆盖”变成局部可检查规则；所有端点为有理数时，中点分割也是精确运算。

圆与指数曲线的全域计数 ​

取

使用Krawczyk页中的 $B_{-},B_{+}$ 及两个有理预条件矩阵。公开证书生成了93个分割节点、90个无根叶和4个已覆盖叶，最大深度24；总计187个节点，无未决叶。两张局部证书加上这棵树，证明目标矩形内恰有两个根。

四个已覆盖叶并不表示四个根。它们只分配到两个互不相交的已认证盒。完整树和验证脚本可在终点页下载，检查者可以重新计算每个叶子的方程包围。

若只允许处理5个节点，同一算法留下6个未决叶。此时两张局部证书仍各自有效，但不能报告全域恰有两个根。扩大预算与已证正确性是两件不同的事。

小盒也可能仍然未决 ​

候选清单允许为空。对 $f(x)=x^2+1$、$D=[-1,1]$，函数区间为 $[1,2]$，树根本身就是无根叶；这是一张 $m=0$ 的完整证书。

对 $f(x)=x^2$，没有根盒覆盖零时，每次细分都会留下含零的盒，函数值区间也始终包含零。盒宽低于 ${10}^{-20}$ 并不能改变这个逻辑状态。重根需要别的局部证明，不能把“很窄”当作存在且唯一。

复多项式的重根簇可以改交圆盘总重数证书理路Pellet 圆盘计数与根簇证书Pellet root cluster certificate · Pellet Tk test · Coefficient-family root clustering通过平移系数的单项优势认证圆盘根总重数，传递系数误差预算，并以不相交圆盘和次数闭合交付全部复根簇而非伪称不同根隔离。：例如 $(z-c{)}^3$ 在任意正半径圆盘中可认证总重数三，无须假装导数可逆。这个输出不宣称三个不同根，也不替代本页一般实向量黑箱的存在且唯一合同；它利用的是全纯结构和多项式系数。

本页的根盒必须在 $D$ 内，且其根在盒内部。因此 $f(x)=x$、$D=[0,1]$ 的边界根不能由当前格式的严格内包含盒认证。可以扩展目标区域后另外处理原边界，或引入适合边界的精确证书；不能未经说明把域外的一半盒当作域内覆盖。

有限停止的清楚版本 ​

假设候选盒确实覆盖了 $D$ 的全部根，且区间求值满足一致收敛性：当 $X\subset D$ 的直径趋零时，$\mathrm{wid}({\mathit{F}}_i(X))$ 对全部这样的小盒一致趋零。端点精度或特殊函数尾界应同步提高，以免固定误差底破坏这个条件。最长边二分、每个有限深度节点最终都会处理的搜索，将在有限步结束。

证明可由有限维紧性理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。给出。反设有任意小的未决盒 $X_k$，选 $x_k\in X_k$，再取收敛子列 $x_k\to x\in D$。未决表示每个分量区间都含零；包含性和宽度趋零迫使 $F(x)=0$。但所有根都落在某个 $\mathrm{int}{B}_j$，所以充分小的 $X_k$ 必完全落入该盒，应该被标为已覆盖，矛盾。于是存在统一尺度，所有更小盒都能结束。最长边二分达到该尺度所需的深度有统一上界，有限深度的二叉树只有有限节点。

这一定理的“候选完整”是假设；实际有限成功证书反过来证明它。若候选漏根，搜索可能一直保留未决区域；若求值平台阻止区间收窄，即使候选完整也可能无法自动停止。公开算例使用固定18阶指数包围并确实完成有限树，因此其正确性由实际叶证据建立，不依赖声称该固定阶扩张在无限细分下必然收敛到零宽。

证书大小与检查成本 ​

若树有 $V$ 个节点、$m$ 张根盒证书，逐叶扫描全部候选盒的直接实现连同分割与坐标验证需 $O(V(1+m)n)$ 次坐标操作，加 $O(V)$ 次函数区间求值。验证 $m$ 个稠密Krawczyk证书通常另需 $O(m{n}^3)$ 算术操作。树的显式存储为 $O(V)$ 个记录，深度优先的工作栈为 $O(H)$，其中 $H$ 为最大深度；有理端点位长和特殊函数求值次数都须另计。

这些成本以实际证书大小为参数，没有给任意 $F$ 关于输入长度的多项式上界。根很近、导数接近奇异或区间表达式过宽时，$V$ 可以很大。结构良好的证书允许独立验证器换用不同搜索顺序，而不必复制作者寻找候选根的过程。