沿平面闭轨存在与排除路线，将omega极限集理路omega极限集与紧轨道的长期归宿Omega-limit set · ω-limit set · omega极限集用任意晚时刻的聚点定义omega极限集，证明紧正向轨道的非空、连通、双向不变及到集合距离趋零，并区分点极限、边界逃逸和稳定性。、平面周期存在定理理路Poincaré–Bendixson定理与平面闭轨存在Poincaré–Bendixson theorem · Poincare-Bendixson theorem · 庞加莱–本迪克松定理证明平面紧正向轨道的无平衡点omega集必为一条周期轨，用流盒、横截穿越次序和Jordan分离闭合证明，并构造非径向振子的环带存在证书。和加权散度判据理路Bendixson–Dulac判据与闭轨排除Bendixson–Dulac criterion · Bendixson-Dulac theorem · Bendixson criterion · Dulac判据用加权散度与周期边界零通量排除平面闭轨，明确单连通和严格符号条件，并在有孔环域上比较两条闭轨、证明扰动振子周期轨唯一。串成一份可复查结果。重点不是画出近似闭环，而是分别交付存在、唯一、吸引与失效边界。

以下下载程序只复算显式代数与证书；它不以有限轨迹采样证明周期存在。选择正确的函数类和区域条件，仍由正文中的数学推导负责。

任务一：认证边界内的一条未知闭轨 ​

给定

$$x^{\prime }=-y+x(1-x^2-y^2)+\frac{1}{10},y^{\prime }=x+y(1-x^2-y^2),$$

候选区域为 $K=\{3/4\le r\le 5/4\}$。提交两条径向不等式、一个角速度区间，并解释它们各负责哪个结论。为什么只报告“一万步后又接近出发点”仍不够？

完整答案 ​

由 $r{r}^{\prime }=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$、$r^2{\theta }^{\prime }=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$ 得

$$r^{\prime }=r(1-r^2)+\frac{1}{10}\cos \theta ,{\theta }^{\prime }=1-\frac{\sin \theta }{10r}.$$

内边界最小径向速度为 $73/320>0$；外边界最大径向速度为 $-193/320<0$。它们排除首次向孔内或向外逃出，故K正向不变。K为整个平面定义域内的紧集，于是全部K中初值全正时间存在。

角速度区间为 $[13/15,17/15]$。它排除K中的平衡点，而不是直接证明某个点周期返回。任选初值，紧轨道给非空omega集，Poincaré–Bendixson将这个无平衡点极限集识别成一条周期轨Γ。

有限轨迹可能接近回访却仍在缓慢漂移；计算还有离散误差。上面三项不等式控制的是区域内全部允许位置和全部未来时间，没有使用“近似返回就是精确返回”这个未经证明的跳跃。偏置项也使r=1不再是解轨道，不能沿用无偏置振子的圆形公式。

任务二：把“至少一条”提升成完整行为证书 ​

现在交付唯一性、整个K的长期归宿、周期上下界和局部稳定性。尤其解释为什么不能直接对有孔的K套“负散度无周期轨”。

完整答案 ​

每条闭轨都满足严格正角速度。沿射线的Jordan内外交替与同向横穿相结合，说明每条射线恰穿一次；故每条闭轨都是单圈径向图。两条不同轨道不相交，径向图差值从不为零，因而一条在所有方向上位于另一条内部。

两轨夹成的环域D完全留在K内。该系统散度为 $2-4r^2\le -1/4$，而两条周期边界的法向通量皆为零；散度定理会给

$$0={\int }_D(2-4r^2)dxdy\le -|D|/4<0,$$

矛盾。于是K内恰有一条Γ。这里积分的是两条轨道之间的区域，没有跨过中心孔；只有一条轨道时，不能把孔内缺失的负散度条件擅自补上。

对K内任何初值，周期存在定理先给某条周期omega集，再由唯一性识别为Γ。因此距离趋向Γ，虽然没有为整个K指定统一指数常数。

每圈角度增加2π，故

$$\frac{30\pi }{17}\le T\le \frac{30\pi }{13}.$$

平面横向乘子满足

$$0<\rho \le e^{-T/4}\le e^{-15\pi /34}<\frac{1}{3}.$$

最后一个有理上界也能不依赖浮点指数复算：$\pi >3$，且

$$e^{15\pi /34}>1+\frac{45}{34}+\frac{1}{2}{\left(\frac{45}{34}\right)}^2>3.$$

旧轨道稳定判据理路周期轨道的轨道稳定性Orbital stability of periodic orbits · Transverse stability of a limit cycle · 周期轨道横向稳定性用到整条轨道的距离定义稳定性，将横截面严格收缩转成连续时间指数界，并以中性径向例子划清乘子判据的边界。因此给局部指数轨道稳定。相位乘子仍为1，ρ是剩下的唯一横向乘子。

任务三：判定三份排除报告的适用范围 ​

第一份报告针对正象限系统

$$x^{\prime }=x(2-x-y/2),y^{\prime }=y(3-x/3-y),B=1/(xy).$$

第二份针对穿孔平面上的无偏置振子，权为 $B=1/(x^2+y^2)$，声称加权散度−2排除了所有周期轨。第三份针对全平面上的式(7)型平台阻尼，声称散度非正且全域不恒零就排除了周期轨。分别接受或拒绝，并给能复查的理由。

完整答案 ​

第一份有效。加权散度为 $-1/y-1/x<0$；正象限凸，B在其中C1，每条域内候选闭轨及其内域都避开两轴。因此没有完全位于正象限中的周期轨。这个结论尚未分类所有正初值的极限，更不能仅由它推出都趋于同一个平衡点。

第二份无效。单位圆本来就是精确周期轨；它围住的原点不在定义域内。对于环域 $a<r<b$，正确通量可以直接复算：

$${\int }_D(-2)dxdy=-2\pi (b^2-a^2).$$

外边界的通量为 $2\pi (1-b^2)$，内边界外法向指向孔，故其通量为 $-2\pi (1-a^2)$，两者之和恰为上式。令某一边界为周期圆b=1，只使该边界通量为零；孔边界项依然存在。

第三份也无效。取 $\chi (s)=0$（s≤1）和 $(s-1{)}^2$（s>1），系统为

$$x^{\prime }=-y-\chi (s)x,y^{\prime }=x-\chi (s)y.$$

散度在圆盘内恒零、在圆盘外严格负。每个 $0<r\le 1$ 的圆都是周期轨；全域“不恒零”没有保证候选闭轨内域中有非零散度。若要使用弱符号版本，必须检查每个非空开子集内都不恒零。

这两份拒绝也应留下明确含义：它们拒绝的是某个排除论证。这里又恰有显式周期轨作为反例；一般证书失败并不自动提供这样的存在结论。

任务四：加入不能旋转消掉的各向异性 ​

将模型改为

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x^{\prime }=-y+x(1-r^2)+\kappa x+\delta ,y^{\prime }=x+y(1-r^2),\kappa =\frac{1}{8},\delta =\frac{1}{10}.\end{array}$$

新的线性项只作用于x方向，不能靠整体平面旋转将它化回任务一的纯常数偏置。仍用同一K，重算全部证书。再把κ改成1/3，说明哪些输出仍可接受，哪些输出应保留为未认证。

完整答案 ​

精确恒等式变为

$$r^{\prime }=r(1-r^2)+\kappa r{\cos }^2\theta +\delta \cos \theta ,$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\theta }^{\prime }=1-\kappa \sin \theta \cos \theta -\frac{\delta }{r}\sin \theta ,\mathrm{div}f=2+\kappa -4r^2.\end{array}$$

$0\le {\cos }^2\theta \le 1$，且 $|\sin \theta \cos \theta |\le 1/2$。于是κ=1/8时，内边界保守下界仍为 $73/320$，外边界上界改为 $-143/320$。角速度位于

$$[193/240,287/240],$$

散度至多−1/8。前两任务的存在、唯一及全K趋近机制全部成立，但周期与乘子必须改为

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{480\pi }{287}\le T\le \frac{480\pi }{193},0<\rho \le e^{-60\pi /287}<\frac{3}{5}.\end{array}$$

有理检查为 $1+180/287+(180/287{)}^2/2>5/3$，再用 $\pi >3$ 即得最后一个界。不能保留任务二的−1/4散度或旧周期数字。

κ=1/3时，内下界仍为 $73/320$，外上界为 $-179/960<0$，角速度为 $[7/10,13/10]$。所以K仍紧正向不变且没有平衡点，周期存在仍被认证。每条既存周期轨依然只绕一圈，故各自的周期仍满足 $20\pi /13\le T\le 20\pi /7$；这份角速度界不依赖唯一性。但散度上界为 $1/12>0$，本次全环带严格负散度证书失败；检查器不再输出唯一性及这个乘子界，记为未认证。可能有别的区域或权函数完成更强分析，这份失败没有证明系统实际出现多条周期轨。

复算与提交 ​

下载标准库证书核验程序与本次结果。程序接受 --output 指定结果路径，以有理数保存所有边界和角速度常数。它先符号化核径向/角向分子及散度恒等式，再核三份参数证书；改写其中一个常数、删掉正向存在所需的严格条件或错报唯一性，均须被拒绝。

程序中的圆周有理点用于检查实现与显示数据，不替代 $|\sin |\le 1$、$|\sin \cos |\le 1/2$ 的全称证明。没有实现对任意输入向量场自动寻找区域或Dulac函数；一般的未认证应保留，而不是伪造肯定结论。

最终交付包含每份输入的区域与函数合同、支持存在的严格边界证据、支持唯一性的区域间通量证据，以及每个稳定性数字的来源。改变模型后，旧证书只有逐项重核才能继续使用。