Poincaré–Bendixson定理与平面闭轨存在

在轨道不停止的位置，放一小段与速度不平行的线段，像在河流中放一道横门。平面中的同一条非闭轨道反复穿门时，交点只能沿门单向推进，不能交替倒退。否则，两次穿门之间的轨道弧和门的一段会围成一条简单闭曲线，后续运动不得不穿过已有轨道或逆着门上的速度穿越。

这条顺序限制把复杂的长期回访压成一个截点。它先给“omega集在每扇小门上至多一个点”，再把紧极限集中不断返回的运动逼成真正周期轨。

局部流盒：靠近小门可以修正成精确穿门 ​

取 $f(p)\ne 0$，选向量v与 $f(p)$ 线性无关，并取短线段 $\sigma (u)=p+uv$。映射

在 $(0,0)$ 的导数两列为 $f(p),v$，所以逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。给一个局部C1坐标盒。在这个盒里，轨道只是增加s而保持u，截面是s=0。

若 $z_j\to p$，写 $z_j=H(s_j,u_j)$，则 $s_j,u_j\to 0$，且 $\varphi (-s_j,z_j)=\sigma (u_j)$。所以从 $\varphi (t_j,x_0)\to p$ 可得到真正的截面交点

这里不假设已有周期轨，也不预先构造一圈后的返回映射；只使用非零速度附近的局部坐标。

平面穿越次序引理 ​

取一条闭的短横截线段Σ，处处有同一个非零法向速度符号，并用沿线的坐标u排序。考虑同一条正向轨道按时间先后与Σ的交点 $p_0,p_1,\dots$。若某次交点重复，唯一性立即给周期轨。若没有重复，则交点的u坐标严格单调：一旦 $u(p_1)>u(p_0)$，后续各次都严格增加；反向同理。

说明这个几何关口。先取相邻的两次不同交点a、b。它们之间的轨道弧不自交，否则先已形成周期轨；弧的内部也不碰Σ，因为两次相邻。因此该弧加上Σ中从b回a的线段构成一条Jordan曲线理路Jordan 曲线定理Jordan curve theorem平面中简单闭曲线的补集恰有内外两个连通分支且曲线是共同边界。J。分离结论是在整个平面中使用，即使U有孔也不改变这一步。

在a、b之间的门段上，向量场总穿向同一侧，不会中途反向。从b继续的轨道进入J的一侧后，不能穿过那段门逃出，因为门上的速度朝着相反的穿越方向；也不能穿过旧轨道弧，因为解唯一。故它被限制在该侧。检查端点附近的同向横穿可知：若门坐标从a增加到b，继续轨道所在侧含b之后的门段，而a之前的门段位于另一侧。于是第三次交点只能在b之后；它不能落回a、b之间，也不能跳到a之前。对b和第三点重复同一论证，就得到严格单调。另一种初始顺序交换两侧即可。

横截还排除了有限时间内无限多次穿门：若交点时刻在有限时间聚积，连续性给Σ上的极限点；该点附近的法向坐标沿解有非零导数，只能过零一次，矛盾。因此无限交点序列的时间确实趋向无穷。

omega集与一扇小门至多交于一点 ​

对Σ内部的任意 $y\in \mathrm{\Omega }$，式(3)给趋于y、时刻趋向无穷的原轨道截点。若原轨道重复截点，它已经周期；一条周期轨也不能在同一Σ上有两个不同截点，否则穿越次序引理会迫使它不闭合。

若原轨道不周期，其截点序列严格单调，沿有限门段的坐标只有一个可能极限。故

用到某个具体截点时，可先缩小线段，使它处于相对内部；这里没有把端点外侧的回访当成门内交点。

从一个周期子轨到整个极限集 ​

任选 $y\in \mathrm{\Omega }$。双向不变性使y的全部轨道都留在紧集Ω中，所以 $\omega (y)$ 非空。取 $z\in \omega (y)$，由式(1)它不是平衡点。在z处放一扇小门Σ，式(3)给出y轨道无限次的门内交点。

所有这些交点又属于Ω。式(4)迫使它们全等于z，故至少两个不同时间到达z，y的轨道是一条非平凡周期轨Γ，且 $\mathrm{\Gamma }\subset \mathrm{\Omega }$。非零速度附近的流盒排除正周期趋于零；周期集合闭且对加减封闭，从而存在最小正周期T。唯一性也保证一圈内没有重复点，所以Γ是简单闭曲线。

还不能在此省略“Γ等于Ω”。Γ紧，故在Ω内闭；它在Ω内也开：取 $p\in \mathrm{\Gamma }$ 的流盒，任意足够近的 $q\in \mathrm{\Omega }$ 都能沿小段流投到p的截面。投影仍在Ω中，式(4)使投影只能是p，所以q也在Γ上。Γ因此是Ω中非空的既开又闭子集；Ω连通，必有 $\mathrm{\Gamma }=\mathrm{\Omega }$，完成证明。

常数偏置破坏圆形解，但没有破坏闭轨存在 ​

考虑多项式系统

在 $r>0$ 用极坐标计算，得到

取闭环带 $K=\{3/4\le r\le 5/4\}$。内边界的最小径向速度为

外边界的最大径向速度为

解不能首次从这两个边界离开K：在首次外穿时，径向导数必须朝离开的方向，却与严格符号相反。因此K正向不变，紧集延拓保证全正时间存在。

在整个K上，又有

图中蓝箭头是瞬时向量场，绿箭头只标边界的径向分量；没有把圆圈或有限数值轨迹画成已求得的周期轨。

角速度处处非零，故K内没有平衡点。本定理因此保证K中至少有一条周期轨。偏置为零时半径1是精确周期圆；偏置为1/10时，直接代r=1会得到 $r^{\prime }=\cos \theta /10$，已不再是圆。存在证明并不依赖猜中形状。

定理不自动给唯一性或稳定性 ​

纯旋转 $r^{\prime }=0,{\theta }^{\prime }=1$ 的任一闭环带都紧且没有平衡点，但其中每个半径各有一条周期轨。对单个初值，omega集仍恰为其所在圆周，完全符合定理。

系统 $r^{\prime }=r(r^2-1),{\theta }^{\prime }=1$ 的单位圆则向外排斥。若初值就在圆上，它满足本页全部假设，仍不能据此宣称该周期轨吸引附近点。稳定性需要横向信息。

平衡点与维度是两道不同的边界 ​

omega页的 $r^{\prime }=(1-r{)}^3,{\theta }^{\prime }=1-\cos \theta +(1-r{)}^2$ 有整圆omega集，却在圆上含一个平衡点。剩余圆弧是趋入、趋出同一平衡点的连接轨道，不是有限周期运动。因此“每条有界平面轨道都趋于点或周期圈”并非本定理的陈述。

三维中也不能沿用结论。在嵌入三维空间的标准环面上，用两个角坐标规定 ${\theta }^{\prime }=1,{\psi }^{\prime }=\sqrt{2}$。它没有平衡点，也没有周期轨：若T为正周期，则T和 $\sqrt{2}T$ 都须为 $2\pi$ 的整数倍，迫使 $\sqrt{2}$ 有理。此场可平滑延拓到环面的一个开管状邻域，例如在参数

中再令 $u^{\prime }=0$。从u=0出发始终留在紧环面，仍无周期轨。失效的是平面Jordan穿越次序，而不是轨道紧性。

一份闭轨存在证书可按“紧区域、边界不外逃、区域内无零点”三步组织。它既可由解析不等式给出，也可由有可靠包含的区间计算认证；一张数值轨迹图只能帮助选择区域，不能单独完成这三项全域检查。

Bendixson–Dulac判据理路Bendixson–Dulac判据与闭轨排除Bendixson–Dulac criterion · Bendixson-Dulac theorem · Bendixson criterion · Dulac判据用加权散度与周期边界零通量排除平面闭轨，明确单连通和严格符号条件，并在有孔环域上比较两条闭轨、证明扰动振子周期轨唯一。从另一方向工作：若被围住区域中的加权散度严格同号，则闭轨无法存在。对式(5)，散度在K内严格为负，但K有孔，所以这不能直接排除一条绕孔闭轨；比较两条周期轨之间的环域时，反而可以由同一通量公式证明唯一性。

一旦获得具体周期轨，Poincaré回归映射理路Poincaré回归映射与返回时间导数Poincaré return map · Poincare return map · 庞加莱回归映射以横截条件构造周期轨道附近的局部返回时间，推导返回映射的投影导数，并证明横向乘子与单周期变分矩阵的关系。才研究它附近每一圈的横向变化；轨道稳定性理路周期轨道的轨道稳定性Orbital stability of periodic orbits · Transverse stability of a limit cycle · 周期轨道横向稳定性用到整条轨道的距离定义稳定性，将横截面严格收缩转成连续时间指数界，并以中性径向例子划清乘子判据的边界。再将截面收缩转成连续时间的距离界。存在、唯一和稳定是三份不同结论，应逐项交付。