Bendixson–Dulac判据与闭轨排除

散度定理把区域内的净产生量与边界净通量相等。沿周期轨Γ，f与边界相切，乘以任意有限的B后仍相切，所以边界通量为零。如果式(2)成立，内部积分却严格有符号，无法同时成立。

选B的目的，是把难判断符号的 $P_x+Q_y$ 变成容易判断的式(1)。它可能除去共同的x、y因子，也可能引入奇点。后者决定了能使用判据的区域，不能先简化表达式，再忘记被除掉的位置。

简单闭轨与被围住的区域 ​

非平凡周期轨上没有平衡点，且一个最小周期内不重复经过同一点；否则唯一性给更短周期。因此它是一条C1简单闭曲线。Jordan曲线定理理路Jordan 曲线定理Jordan curve theorem平面中简单闭曲线的补集恰有内外两个连通分支且曲线是共同边界。给有界内域D及边界Γ。

单连通条件保证 $\bar{D}\subset U$。说明这个常用平面事实：若某个 $a\in D$ 不属于U，Γ绕a一圈；把Γ在U内缩成一点，就得到在 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{a\}$ 中的收缩。但径向投影到圆周后，其绕行整数理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。在连续变形中不变：连续提升角度后，终角减初角是 $2\pi$ 的整数倍。Jordan曲线绕内部点的整数为正一或负一，常值闭路则为零，矛盾。Γ本身紧且在U内，故内域加边界整个落在U后是可用的紧区域。

对于一条C1简单闭曲线，内部绕行整数为正负一可用横向射线复核：从内点走向无穷远时，穿越边界的进入、离开交替出现，净穿越为一次；方向由曲线定向决定。这个整数只负责检查孔是否被圈入，不是对所有穿越次数取无符号和。

零通量与严格积分的矛盾 ​

Γ为正则C1闭曲线，其内域具有局部单侧的C1边界。Bf在闭区域邻域为C1，因此可使用散度定理的二维C1版本理路散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。：

最后一个等号因为 $f\cdot \nu =0$。若 $D_B>0$，任选内点，连续性给一个小圆盘上正的统一下界，且全域积分没有负项，所以左侧严格正。负号情形同理。

若采用形式陈述中的弱化合同，就先在D内找到 $D_B\ne 0$ 的一点，再用相同的小圆盘论证。这里需要D内出现非零值；U中很远处有一个非零值并无帮助。

竞争模型：权函数消去状态因子 ​

在正象限 $U=\{x>0,y>0\}$ 考虑

a、c、d、e为任意实常数。普通散度可能随位置变号；选 $B=1/(xy)$ 后却得到

正象限凸，因而单连通，B在其中C1。故没有完全位于正象限中的周期轨。B在坐标轴上的奇性不影响这个域内结论，也不允许把同一证明跨过坐标轴使用。式(5)本身尚未判定哪些轨道趋于平衡点、哪些逼近边界或逃向无穷。

有孔时，严格负散度仍可容许一个周期圈 ​

在 $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ 上取

直接展开

旋转项及 $(x/r^2,y/r^2)$ 的散度在原点外均为零，剩下 $(-x,-y)$ 给−2。但原系统满足 $r^{\prime }=r(1-r^2),{\theta }^{\prime }=1$，单位圆明确是一条周期轨。它围住的原点不在U内，B也在那里奇异，式(3)不能对整圆盘使用。不存在任何符号矛盾。

全域“不恒零”仍可能漏掉一整块周期运动 ​

令 $s=x^2+y^2$，定义C1函数

在整个平面上，

它处处非正，而且在全平面上并非恒零。然而每个 $0<r\le 1$ 的圆都是周期轨，因为这里 $r^{\prime }=0,{\theta }^{\prime }=1$。其内部恰是散度为零的开区域。式(8)明确区分了“全域有某处非零”和“任何非空开子集内都不恒零”。

左图保留定义域中心孔，右图保留整块零散度区域；两者都确有蓝色周期圆。严格符号和整块内域条件分别检查，不能互相替代。

环域上比较两条闭轨，不必填掉中心孔 ​

对闭轨存在页的偏置振子理路Poincaré–Bendixson定理与平面闭轨存在Poincaré–Bendixson theorem · Poincare-Bendixson theorem · 庞加莱–本迪克松定理证明平面紧正向轨道的无平衡点omega集必为一条周期轨，用流盒、横截穿越次序和Jordan分离闭合证明，并构造非径向振子的环带存在证书。

已证明 $K=\{3/4\le r\le 5/4\}$ 紧正向不变、无平衡点，故其中有周期轨。现在证明它在K中唯一。

首先，每条这样的闭轨Γ都恰绕原点一圈，并可写成正的径向图 $r=r_{\mathrm{\Gamma }}(\theta )$。确实，${\theta }^{\prime }\ge 13/15>0$，沿一个周期提升角度后总增量为 $2\pi m$、$m\ge 1$。任取从原点出发的射线，交点都横截，因为角速度非零。若同一射线交Γ两次以上，沿射线向外走时内外应交替，而Γ的定向在整条曲线上一致，所有交点又因 ${\theta }^{\prime }>0$ 有相同穿越方向，便不能交替。故每条射线恰交一次，$m=1$，原点在Γ内部。横截和隐式反解同时保证径向图连续可微。

两条不同周期轨不能相交，否则解唯一性使它们相同。它们的径向图差值连续且从不为零，因此在全部角度上同号。不妨记为 $r_1(\theta )<r_2(\theta )$，两曲线之间的环域为

两条边界的半径都在 $[3/4,5/4]$ 中，所以 $\bar{D}\subset K$，并未把中心孔填进积分区域。而

对D用散度定理，两条边界上速度都相切，通量和仍为零；体积分至多 $-|D|/4<0$，矛盾。因而K内恰有一条周期轨Γ。

唯一性之后再交长期行为与乘子界 ​

对K中的任意初值，本页之前的存在定理把其omega集识别为某条周期轨；唯一性使它必为同一个Γ，所以全部这些初值都有 $d(\varphi (t,x),\mathrm{\Gamma })\to 0$。这份结论针对整个K，没有预先给一个全K通用的指数常数。

每圈角度增加2π，结合角速度的上下界可得

再复用平面轨道稳定页的乘子公式理路周期轨道的轨道稳定性Orbital stability of periodic orbits · Transverse stability of a limit cycle · 周期轨道横向稳定性用到整条轨道的距离定义稳定性，将横截面严格收缩转成连续时间指数界，并以中性径向例子划清乘子判据的边界。，得到唯一横向乘子

于是Γ还局部指数轨道稳定。式(12)没有把平面系统固有的相位乘子1删错成稳定失败，也没有把局部稳定率直接冒充整个环带的统一速度。

对其他系统，寻找合适B往往需要观察结构，没有“任意输入总能找到”的保证。检查器若无法认证定义域、权函数正则性或全域符号，应报告这份证书未成立；它不能把失败解释成周期轨必存在。