这份终点把三个层次分开验收：一个元素能否求逆，整个代数是否为原域上的二阶矩阵代数，以及两个元素或两套生成元之间能否用一个可逆变换连接。每项结果都须能从原输入重新计算，不能只提交“已通过”的标记。

学习顺序见四元数矩阵证书路线。三站分别是四元数与约化范数理路四元数代数与约化范数Quaternion algebra · Reduced norm of a quaternion algebra · 四元数约化范数从四个坐标的非交换乘法构造四元数代数，证明共轭、约化范数与双侧逆，并区分除代数、分裂代数和普通左乘行列式。、分裂的范数证书理路四元数分裂的范数与矩阵证书Splitting criterion for quaternion algebras · Quaternion norm equation · 四元数分裂判据证明四元数分裂、非零零范数、二次范数方程与圆锥有点等价，并把一个解转成原域上的矩阵同构及逆坐标。和共轭与内自同构证书理路四元数共轭与内自同构证书Quaternion conjugacy certificate · Skolem–Noether for quaternion algebras · 四元数内自同构用迹和范数判断非中心四元数是否共轭，在二维线性解空间中有限找到可逆见证，并从生成元像恢复内自同构的唯一标量类。。

任务一：从四个坐标走到矩阵再走回来 ​

固定 $B=(2,-1{)}_{\mathbb{Q}}$，基为 $(1,i,j,k)$，其中 $k=ij$、$i^2=2$、$j^2=-1$。输入

请交付：

1. $q,r$ 的约化迹与范数；$q$ 的非零左右消去见证；$r$ 的双侧逆
2. 四维左乘矩阵的迹与行列式，并解释为何与约化迹、范数不同
3. 从 $q$ 的零范数取出 $u^2-2v^2=-1$ 的解，构造 $I,J,IJ$
4. 将任意给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$ 取回四元坐标，再完整乘回

可核验的答案 ​

两元素的约化迹都是 $2$，范数分别为 $0,-2$。$\overline{q}=1-i-j$ 非零，且 $q\overline{q}=\overline{q}q=0$。另有

两张四维左乘矩阵的迹都是 $4$，行列式分别为 $0,4$。正则左乘在分裂后作用于两个矩阵列，所以其迹是约化迹的两倍，行列式是约化范数的平方。

$q$ 对应二次域中的分子 $1+\sqrt{2}$、分母 $1$，所以取 $(u,v)=(1,1)$。矩阵证书为

必须实际核 $I^2=2I_2$、$J^2=-I_2$、$JI=-IJ$ 和四张基矩阵线性无关。由它们定义 $\mathrm{\Phi }$ 后，

目标矩阵的逆坐标为

如果只证明 $I,J$ 的平方正确，却把 $J$ 的右上位置误写成 $+2$，反交换和范数立刻出错。验收程序会从原来的 $a,b,u,v$ 重建两生成元，拒绝这个变号。

任务二：判断何时不能在原域里分裂 ​

换三组参数，不沿用第一题的矩阵。

• 对 $(-1,-1{)}_{\mathbb{Q}}$，给出排除所有非零零范数输入的论证
• 对 $(2,3{)}_{\mathbb{Q}}$，说明实数上可分裂仍不足以推出有理分裂，并用整系数证书证明无有理点
• 对 $(1,3{)}_{\mathbb{Q}}$，从圆锥无穷远点 $[1:1:0]$ 出发说明为何不能直接除以第三坐标，再给可用的仿射范数解

可核验的答案 ​

第一组的范数是四个有理数的平方和。嵌入实数后，每一项非负，和为零只能全零，故它是除代数。将基域扩到复数，取 $s=\sqrt{-1}$ 后的二阶矩阵模型却存在；基域变大可以改变分裂性。

第二组的圆锥是

它有实点，例如 $[\sqrt{3}:0:1]$。若有有理点，清分母并除最大公因子得到本原整数三元组。模 $3$ 得 $X^2+Y^2\equiv 0$，因模三平方只有 $0,1$，可得 $3\mid X,Y$。代回后 $3Z^2$ 被 $9$ 整除，所以 $3\mid Z$，与本原性矛盾。由分裂等价链，$(2,3{)}_{\mathbb{Q}}$ 不分裂。

第三组取 $(u,v)=(2,1)$，有 $u^2-v^2=3$。它产生另一点 $[2:1:1]$，从而可代入矩阵公式。原点 $[1:1:0]$ 仍是完全合法的射影点；需要换证书分支，不能把除零视为“无点”。

这些是普遍证明或明确构造。公开程序没有通过有限枚举宣称完成所有有理圆锥的判定；它也没有把测试到的最大坐标当成不存在更大解的上界。

任务三：一个共轭条件与两个同时条件 ​

回到 $B=(2,-1{)}_{\mathbb{Q}}$。先只要求 $i$ 被送到 $-k$，再增加要求 $j$ 保持不变。

只指定一个元素 ​

未知四元数写成 $c=t+xi+yj+zk$。解 $(-k)c=ci$ 得

其范数为 $2(t^2-2x^2)$，因此所有非零参数对都给可逆解。可取 $c_0=1+j$，得到

公开程序的 RREF 固定自由变量次序，返回的另一基向量是 $-i+k$，并可能首先选中它，而不是手算选的 $1+j$。两者都是正确证书；不能因具体输出坐标不同就判失败。完整核基、非零范数和乘回目标才决定正确性。

同时指定两个生成元 ​

再要求 $jc=cj$，交织空间收缩为 $F(1+j)$。因此自同构

由 $1+j$ 实现，且其全部实现元是非零标量倍数。它还将 $k=ij$ 送到 $(-k)j=i$；验收时这个第三个像不能任意另填。

换到分裂模型，拒绝非零但不可逆的核向量 ​

在 $(1,1{)}_F$ 中要求 $i$ 保持不变，核有基 $1+i,1-i$，两者范数都为零；它们的和 $2$ 却范数为 $4$。在两系数各取 $0,1,-1$ 的九点网格上，恰有四个候选范数非零，另五个为零。这个计数对 ${\mathbb{F}}_3$ 仍成立。

再由分裂逆坐标把 $E_{12},E_{21}$ 取回四元数。两者非中心、非零且平方为零，确实共轭；零元素具有同样的迹和范数，却不能与它们共轭。提交证书时必须保留非中心合同，不能把“非零”和“非中心”混为一谈。

故意破坏三份证书：将核的第二个基向量重复为第一个、将成功组合改成单个奇异基向量、将记录的共轭元某个坐标加一。验证器须分别通过独立性、范数和原方程乘回拒绝，不能只复用作者填入的标记。

任务四：迁移到整个有限域，核完整类而非几个例子 ​

对 $p=3,5$，逐一取 $a,b\in {\mathbb{F}}_p^{\times }$。每个模型都可分裂：平方集和 $b+a$ 倍平方集各有 $(p+1)/2$ 个元素，必相交，给出范数解。因此可以独立从矩阵侧预言规模。

一个二阶可逆矩阵的第一列可任取非零向量，第二列只需不在第一列的一维张成空间中，所以

全部 $p^4$ 个元素中，中心有 $p$ 个。非中心元素按约化迹、范数分成 $p^2$ 个共轭类：每个首一二次多项式都由它的非标量伴随矩阵实现。再按判别式分三种。

• 非零平方判别式： 中心化代数为 ${\mathbb{F}}_p\times {\mathbb{F}}_p$，可逆元 $(p-1{)}^2$ 个，故每个共轭类有 $p(p+1)$ 个元素
• 非平方判别式： 中心化代数为 ${\mathbb{F}}_{p^2}$，可逆元 $p^2-1$ 个，故类大小为 $p(p-1)$
• 判别式为零且非中心： 写成 $tI+N$、$N^2=0,N\ne 0$，中心化代数为 ${\mathbb{F}}_p[N]$；$rI+sN$ 当且仅当 $r\ne 0$ 可逆，共 $p(p-1)$ 个，故类大小为 $p^2-1$

固定迹后，改变范数会让判别式遍历整个 ${\mathbb{F}}_p$。于是三类多项式数量分别为 $p(p-1)/2$、$p(p-1)/2$、$p$。

在 $p=3$ 时，单位有 $48$ 个；九个非中心类的大小为三个 $12$、三个 $6$、三个 $8$，合计 $78=3^4-3$。在 $p=5$ 时，单位有 $480$ 个；二十五个类的大小为十个 $30$、十个 $20$、五个 $24$，合计 $620=5^4-5$。

内自同构的实现元纤维恰为 $p-1$ 个非零标量倍数，所以不同自同构数量为 $24$ 与 $120$。公开程序枚举全部单位的作用，仅向恢复器提交两生成元的像，再核返回元与原实现元相差非零标量。这检查了联合一维核，而不只是再次计算同一个范数。

复算、产物与验收范围 ​

下载公开标准库程序和发布的精确结果。在保存脚本的目录执行：

python foundations-quaternion-matrix-check.py --output my-results.json
python -O foundations-quaternion-matrix-check.py --output my-optimized.json

输出必须逐字一致。当前程序执行 49,583 项检查，覆盖五份有理参数模型、${\mathbb{F}}_3/{\mathbb{F}}_5$ 的全部二十份非零参数模型、10,324 个域内元素的矩阵往返、10,232 个非中心目标的共轭证书、436 个完整单位轨道，以及 2,016 个不同内自同构的恢复。

轨道枚举与核求解使用不同的判定路径：前者实际列出每个单位的夹乘，后者解线性方程再有限找可逆元。它们对完整有限集合交叉比较。泛域结论仍由三篇正文的矩阵证明、线性下降和二次网格论证承担；程序没有将有限模型结果外推为定理。

最终应保留输入参数、四元坐标约定、核基、组合系数、范数与正逆矩阵映射。不接受只给一张矩阵图片、只给范数值、或只说随机测试没出错的结果。