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小参数微分方程：三份不同窗口的证书 ​

下面三个模型都含有小参数，但需要的观察窗口不同。完成任务应交付公式、误差范数、参数范围和证明。先尝试独立计算，再核对后面的答案；数值表只用于复算，不能代替全区间论证。

任务 ​

1. 对 $\epsilon y^{″}+y^{\prime }=1$、$y(0)=y(1)=0$，判断层在哪一端、宽度是什么，求内解、外解和复合解，并证明其在 $[0,1]$ 上的最大误差。将一阶项改成 $-y^{\prime }$ 后，层位置如何变化？
2. 对 $\dot{x}=z$、$\epsilon \dot{z}=x-z$、$(x,z)(0)=(1,0)$，求约化解和冻结快解。在固定窗口 $[0,1]$ 内分别认证慢变量误差与快变量误差；说明从何时起，快变量也有 $O(\epsilon )$ 的统一界。
3. 对 $y^{″}+2\epsilon y^{\prime }+y=0$、$y(0)=1$、$y^{\prime }(0)=-\epsilon$，推导两时间近似，证明它在 $[0,2/\epsilon ]$ 上的误差界。构造一列参数和时刻，证明普通一阶展开不能在同一长窗口一致变准。
4. 检查平均方程 $\dot{y}=\epsilon y$ 能否近似 $\dot{x}=\epsilon (1+\cos t)x$、$x(0)=1$；再解释为什么把模型改成 $\dot{x}=\epsilon \cos \left(\epsilon t\right)$ 后，零平均会给错误的长窗结论。

答案一：一条整段近似，指数小的最大误差 ​

主导平衡理路边界层Boundary layer在靠近边界的收缩区域放大快速变化，通过导数平衡确定层宽，并用衰减方向确定层的位置。给层宽 $\epsilon$。左端坐标 $X=x/\epsilon$ 的首阶方程为 $Y^{″}+Y^{\prime }=0$，非恒定项向内部衰减；右端坐标会得到增长项，所以层在左端。

外解由 $y_0^{\prime }=1$、$y_0(1)=0$ 得 $y_{\mathrm{out}}=x-1$。内解由 $Y_0(0)=0$ 得 $A(1-e^{-X})$。在 $\epsilon \ll x\ll 1$ 的重叠区，内外极限相同迫使 $A=-1$。扣除共同部分理路匹配渐近展开Matched asymptotic expansions · Matching asymptotic expansions在内外近似共同有效的重叠区匹配常数，扣除重复部分构造复合解，并单独验证其全区间误差。 $-1$ 后，

$$y_{\mathrm{comp}}=x-1+e^{-x/\epsilon }.$$

精确解与误差为

$$y_{\epsilon }=x-\frac{1-e^{-x/\epsilon }}{1-e^{-1/\epsilon }},y_{\epsilon }-y_{\mathrm{comp}}=-\frac{e^{-1/\epsilon }(1-e^{-x/\epsilon })}{1-e^{-1/\epsilon }}.$$

误差的模随 $x$ 增大，在右端达到 $e^{-1/\epsilon }$。因此这是一个真正的全区间最大误差证书，虽然复合式右端边值没有严格等于零。$\epsilon =0.1$ 时最大误差为 $4.539992976\times {10}^{-5}$；$\epsilon =0.05$ 时为 $2.061153622\times {10}^{-9}$。仅用外解，在左端仍错 1。

改成 $\epsilon y^{″}-y^{\prime }=1$ 后，右端坐标出现衰减指数，层移到右端。端点选择跟随微分算子的符号，不能把上面的左端公式原样使用。

答案二：慢变量与快变量不能共用起点声明 ​

临界关系理路快慢系统Slow-fast system · Fast-slow system用两种时间参数分离慢变量与快变量，构造约化问题和冻结问题，并检查临界集合是否吸引真实轨道。为 $z=x$，所以 $\overline{x}=\overline{z}=e^t$。在快时间 $\tau =t/\epsilon$ 冻结 $x=1$，得到 $z_{\mathrm{fast}}=1-e^{-\tau }$。后者描述初始调整，并不单独描述整个固定时间窗口。

对本系统，$0\le z\le x$ 向前不变，且 $x^{\prime }=z\le x$，所以在 $[0,1]$ 上有 $x,z\le e$。定量 Tikhonov 版本理路Tikhonov 奇异摄动定理Tikhonov singular perturbation theorem · Tikhonov theorem for slow-fast systems在明确的指数吸引快变量模型中，证明慢变量的固定时窗误差，并把快变量的初始层与持续跟踪误差分开。中可取 $a_0=H=L_z=L=1$、$F=e$、$|e_0|=1$。记 $K=e(1+e)$，有

$$\underset{0\le t\le 1}{sup}|x(t)-e^t|\le K\epsilon ,$$$$|z(t)-e^t|\le e^{-t/\epsilon }+\epsilon (e+K).$$

在 $t_{\epsilon }=\epsilon \log \left(1/\epsilon \right)$ 之后，指数项不超过 $\epsilon$，故

$$\underset{t_{\epsilon }\le t\le 1}{sup}|z(t)-e^t|\le (1+e+K)\epsilon .$$

例如 $\epsilon =1/16$ 时，$t_{\epsilon }\approx 0.173287$，慢变量全窗口证书约为 $0.631709$，快变量层后证书约为 $0.864101$。401 点检查得到的最大误差分别约为 $0.283052$ 和 $0.418762$；这些采样最大值不是全区间证书，保守的解析上界才是。

在起点，$|z(0)-\overline{z}(0)|=1$，对每个参数都相同。因此快变量在 $[0,1]$ 上一致 $O(\epsilon )$ 的说法必错；它不能由更多采样或更小的数值步长变成正确。

答案三：把振幅的慢变化留在指数里 ​

普通一阶展开为 $(1-\epsilon t)\cos t$。多重尺度法理路多重尺度法Method of multiple scales · Multiple-time-scale expansion把快振荡与慢振幅视为独立变量，通过消去共振长期项推导慢演化，再用精确解或平均定理验证长时间误差。令 $T=\epsilon t$，写 $Y_0=A(T)\cos t+B(T)\sin t$。要求一阶方程不受 $\sin t,\cos t$ 共振驱动，得到 $A^{\prime }=-A,B^{\prime }=-B$，进而

$$y_{\mathrm{ms}}=e^{-\epsilon t}\cos t.$$

精确解是 $y_{\epsilon }=e^{-\epsilon t}\cos \left(\sqrt{1-{\epsilon }^2}t\right)$。在 $0<\epsilon <1$、$0\le t\le 2/\epsilon$ 上，

$$|y_{\epsilon }-y_{\mathrm{ms}}|\le e^{-\epsilon t}\frac{{\epsilon }^{2}t}{1+\sqrt{1-{\epsilon }^2}}\le \frac{2\epsilon }{1+\sqrt{1-{\epsilon }^2}}.$$

取 $\epsilon =0.1$，物理终点为 20，解析误差界约为 $0.1002513$，1601 点检查最大误差约为 $0.0183484$。两者要分别标为“证明界”与“采样观察”。

令 ${\epsilon }_n=1/(2\pi n)$、$t_n=2\pi n$。普通近似恒为 0，真解趋向 $e^{-1}$，而多尺度近似等于 $e^{-1}$。这个明确序列证明普通展开在长窗口上不一致，不依赖“画起来似乎偏了”的判断。

答案四：平均前先检查周期是否固定 ​

周期模型的精确解为 $x=e^{\epsilon t+\epsilon \sin t}$，平均解为 $y=e^{\epsilon t}$。因此在 $[0,T/\epsilon ]$ 上，

$$|x-y|\le e^T(e^{\epsilon }-1)=O_T(\epsilon ).$$

周期平均定理理路周期常微分方程的平均法Periodic averaging for ordinary differential equations · First-order averaging theorem对小幅周期向量场取周期平均，用零均值原函数控制振荡积累，并证明长度为参数倒数的时间窗上的误差界。的证明利用零均值振荡的有界原函数，再以 Grönwall 控制状态移动造成的误差。它平均的是向量场一个固定周期，而不是把任意慢变化都当成快振荡。

反例 $\dot{x}=\epsilon \cos \left(\epsilon t\right)$、$x(0)=0$ 的真解为 $\sin \left(\epsilon t\right)$，在 $t=\pi /(2\epsilon )$ 等于 1。其周期为 $2\pi /\epsilon$，违反固定周期条件，零平均不是该长窗口内的可靠近似。

下载与迁移检查 ​

70 位复算脚本需要 Python 与 mpmath，输出完整记录。它核验精确余项、方程与初值残差、三个窗口中的解析界，以及两个必失败的近似；网格采样仅用于检查实现，不把网格最大值提升为连续上确界的证明。

每个网格点直接评估有限个指数、三角函数和算术式；若共检查 $M$ 个点，在固定精度模型下是 $O(M)$ 次函数评估。70 位运算的位成本另计。脚本保存汇总结果，不调用数值 ODE 求解器，以免把离散误差混进渐近误差比较。

迁移到新模型时，先写下观察区间、误差范数和常数允许依赖的量。再检查层的位置与吸引性、解是否留在共同区域、周期是否固定，以及初始/边界失配是否已计入。只要其中一项改变，就需要重新验证对应证书。