多重尺度法

一阶修正为什么会越长越大 ​

考虑

先作原变量中的正则摄动展开理路正则摄动展开Regular perturbation expansion固定观察区间与误差范数，逐阶求解小参数方程，并把有限截断残差转成真实解的误差界。。零阶为 $y_0=\cos t$；一阶满足

故 $y_1=-t\cos t$。近似 $(1-\epsilon t)\cos t$ 在固定区间上有用，但当 $t$ 达到 $1/\epsilon$，修正不再小。这种由共振产生的、随时间增长的修正称为长期项。

让共振项自己消失 ​

写零阶解

把两时间展开代入式(1)。一阶方程为

这里 $A^{\prime },B^{\prime }$ 表示对 $T$ 的导数。右端若含非零的 $\sin t$ 或 $\cos t$ 共振分量，解中就会出现 $t\cos t$ 或 $t\sin t$。要有有界的周期修正，必须取

初值的首阶给 $A(0)=1,B(0)=0$，从而得到

它还恰好满足式(1)的两条完整初值。把 $e^{-\epsilon t}$ 在固定时间展开，便恢复 $1-\epsilon t+\cdots$；新方法保留了整条缓慢衰减的包络，而没有把它截成时间多项式。

一份真正的长时间误差证书 ​

式(1)的精确解为

利用 $|\cos u-\cos v|\le |u-v|$ 及

对固定 $T_{\ast }>0$，在 $0\le t\le T_{\ast }/\epsilon$ 上得到

因此首阶多尺度解在这个长窗口上仍有 $O(\epsilon )$ 绝对误差。证明利用的是精确相位差，不能仅凭消掉一个长期项就声称任意阶一致展开已经建立。

普通一阶近似确实会在同一窗口失效。令 ${\epsilon }_n=1/(2\pi n)$、$t_n=2\pi n$，则 ${\epsilon }_n{t}_n=1$ 且 $\cos t_n=1$。普通近似恒为 0，而真解趋向 $e^{-1}$；多尺度近似则等于 $e^{-1}$，其误差按式(3)趋零。选整数周期避免了恰好采在余弦零点造成的假象。

左图只画快慢逼近理路Tikhonov 奇异摄动定理Tikhonov singular perturbation theorem · Tikhonov theorem for slow-fast systems在明确的指数吸引快变量模型中，证明慢变量的固定时窗误差，并把快变量的初始层与持续跟踪误差分开。中的初始项 $e^{-t/\epsilon }$：越过 $t/\epsilon =\log \left(1/\epsilon \right)$ 后它降到参数大小，完整快误差还包括持续跟踪项。右图比较本例余弦前的振幅系数 $e^{-T}$ 与 $1-T$，没有把包络差当作全部解误差；相位仍按式(3)单独估计。

初值、共振和时间窗不能省略 ​

若改用 $y^{\prime }(0)=0$，式(2)仍可给一阶长窗近似，但已不精确满足导数初值；应把初始 $O(\epsilon )$ 失配计入证明，或补相应的正弦修正。若外力频率靠近固有频率，失谐也会进入慢方程，不能继续使用单独的 $A^{\prime }=-A$。

相位的 $O({\epsilon }^2)$ 误差在 $t=O({\epsilon }^{-2})$ 上可能累计成数量级 1。对本例，阻尼又会让此时的振幅极小，因此相位误差与绝对误差并不是同一指标；对无阻尼振子则没有这一保护。应在新的窗口重新估计，而不是只看局部系数的阶数。

用平均定理核对慢振幅 ​

令真实位置和速度写成旋转坐标

将式(1)代入后得到精确系统

周期平均为 ${\overline{a}}^{\prime }=-\epsilon \overline{a}$、${\overline{b}}^{\prime }=-\epsilon \overline{b}$。初始旋转坐标是 $(a,b)=(1,-\epsilon )$，所以平均重构为 $e^{-\epsilon t}(\cos t-\epsilon \sin t)$，与式(2)相差至多 $\epsilon$。

真实能量 $y^2+(y^{\prime }{)}^2=a^2+b^2$ 的导数为 $-4\epsilon (y^{\prime }{)}^2\le 0$；平均坐标也衰减。因此两条坐标轨道留在共同有界圆盘，周期平均定理理路周期常微分方程的平均法Periodic averaging for ordinary differential equations · First-order averaging theorem对小幅周期向量场取周期平均，用零均值原函数控制振荡积累，并证明长度为参数倒数的时间窗上的误差界。的局部条件成立，给出 $O(1/\epsilon )$ 窗口上的 $O(\epsilon )$ 误差。这提供了不用精确特征根也能验证慢包络的路线。

可迁移的检查顺序是：识别失效的长期项，选择独立慢时间，完整展开导数，解周期可解性条件，最后核验初值与目标窗口的误差。需要更长时间时，可能要增加相位尺度或更高阶慢方程，而不是单纯增加原变量中的多项式项。