正则摄动展开 | Codeboy's Blog

一条方程很难直接求解，但把小参数 $\varepsilon$ 设为零后就容易了。正则摄动尝试从这个简单解出发，一层层补回小参数的影响。真正要检查的不是写出了多少项，而是补完后留下的误差，能否在声明的整个区间同时变小。

形式陈述

以带参数的常微分方程为例，设 $y_\varepsilon$ 在同一个固定区间 $[0,T]$ 上有解。寻找与 $\varepsilon$ 无关的系数函数，使

y_\varepsilon(t)=y_0(t)+\varepsilon y_1(t)+\cdots+\varepsilon^N y_N(t)+R_N(t,\varepsilon), \qquad \sup_{0\le t\le T}|R_N(t,\varepsilon)|=o(\varepsilon^N).

这是将 Poincaré 渐近展开放到函数的上确界范数中。本文把这种在原变量、所选解支路和固定观察范围内，围绕极限问题逐阶构造的展开称为正则摄动展开。若还能证明余项为 $O(\varepsilon^{N+1})$ ，就得到更强的定量版本。

“固定范围”很重要。在每个固定 $t$ 都能展开，不保证在随参数变长的 $[0,1/\varepsilon]$ 上仍有同样的余项界。有限项展开也不要求无穷级数收敛，更不自动允许逐项求导；如果推导使用导数，就要由原方程、光滑参数依赖或残差论证补上依据。

直觉

考虑

y'=-y+\varepsilon y^2,\qquad y(0)=1,\qquad 0\le\varepsilon\le\tfrac12.

先尝试 $v=y_0+\varepsilon y_1$ 。把它代入右端，按参数次数收集项：

y_0'=-y_0,\quad y_0(0)=1; \qquad y_1'=-y_1+y_0^2,\quad y_1(0)=0.

初值为何这样分配？原初值不依赖 $\varepsilon$ ，所以零阶拿走全部的 1，高阶系数在初始点必须为零。依次解这两条线性方程，得到

y_0=e^{-t},\qquad y_1=e^{-t}(1-e^{-t}),\qquad v=e^{-t}[1+\varepsilon(1-e^{-t})].

本例还可以验证答案。令 $w=1/y$ ，则 $w'=w-\varepsilon$ ，于是

y_\varepsilon(t)=\frac{e^{-t}}{1-\varepsilon(1-e^{-t})}.

分母在 $t\ge0$ 上至少为 $1/2$ ，因此没有隐藏的极点。用有限几何恒等式直接相减可得

y_\varepsilon-v =\frac{\varepsilon^2 e^{-t}(1-e^{-t})^2}{1-\varepsilon(1-e^{-t})}, \qquad 0\le y_\varepsilon-v\le2\varepsilon^2.

这个界甚至对全部 $t\ge0$ 成立。它是本例分母与衰减结构共同带来的增强结论，不是所有正则摄动的默认性质。

例子与边界

取更简单的 $y'=-\varepsilon y$ 、 $y(0)=1$ 。固定 $T$ 上

y=e^{-\varepsilon t}=1-\varepsilon t+O_T(\varepsilon^2).

但在 $t=1/\varepsilon$ ，一阶近似为 0，真值为 $e^{-1}$ 。这里失败的原因是 $\varepsilon t$ 已不再小。多重尺度法会把 $\varepsilon t$ 留作独立的慢时间变量，而不是继续把它展开成越来越长的多项式。

另一种失败来自极限方程丢失条件。奇异摄动中的初始层、边界层会让固定全区间上的简单展开也失效；这种情形需要重新选择局部尺度。

推论与应用

设真实解满足 $y'=f(t,y,\varepsilon)$ ，近似 $v$ 的残差为

r(t)=v'(t)-f(t,v(t),\varepsilon).

假设真实解与近似解在共同的状态区域内， $f$ 对状态具有与 $\varepsilon$ 无关的 Lipschitz 常数 $L$ 。两式积分后相减，得到

|y(t)-v(t)|\le |y(0)-v(0)|+ \int_0^t\bigl(L|y(s)-v(s)|+|r(s)|\bigr)\,ds.

用 Grönwall 不等式，若初始误差不超过 $c_0\varepsilon^{N+1}$ 、残差不超过 $c_1\varepsilon^{N+1}$ ，便有

\sup_{0\le t\le T}|y-v| \le(c_0+c_1T)e^{LT}\varepsilon^{N+1}.

常数允许依赖固定的 $T$ ，不能偷偷依赖趋零的 $\varepsilon$ 。若解可能先离开该状态区域，必须另外证明不逃出，或明确把估计限制在离开之前。

对前面的 $v$ ，实际残差是

r=-2\varepsilon^2 y_0y_1-\varepsilon^3y_1^2.

因此系数方程消除了零阶与一阶残差；再结合区间上的状态界，就能在不知道精确解时完成固定窗口的误差证明。这比“把 $\varepsilon^2$ 以后都略去”多了决定性的一步。

先说明参数范围、支路、观察区间和误差范数。再解零阶问题，把每阶条件与每阶方程一起收集，得到有限近似。随后计算真实残差，核实稳定常数与状态区域，最后交付带范围的误差界。求系数的代价由每阶线性或非线性子问题决定，没有统一的“每增加一阶只花常数时间”。

小参数微分方程终点任务把这个顺序用于三个不同窗口；第一项工作就是判断原变量中的展开是否足够。

参考资料

John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory, 2004，§1.1.2、§2.2.1、§2.2.4，正则/奇异问题与非一致展开。
Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed., 2002，§10.1 The Perturbation Method；作者目录。本页的初值问题与残差常数由上面计算自足验证。