奇异摄动

一个不能在全区间忽略的指数项 ​

考虑初值问题理路常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。

乘积分因子或直接代入可得

设 $\epsilon =0$ 后，方程只剩 $y=1$，无法同时满足 $y(0)=0$。固定 $t>0$ 时，确实有 $y_{\epsilon }(t)\to 1$；但是

因此它在 $[0,T]$ 上不一致收敛理路函数列一致收敛Uniform convergence of functions误差对定义域中所有点可由同一阶段统一控制的函数列收敛。到 1。实际逐点极限在 $t=0$ 为 0、在 $t>0$ 为 1，是不连续函数；连续解也不可能在这个闭区间上一致收敛到它。

若只观察 $[\delta ,T]$，其中固定 $\delta >0$，误差上界变成 $e^{-\delta /\epsilon }$，比任意固定次幂 ${\epsilon }^N$ 更小。故“近似好不好”不能脱离观察区域。

前例的薄区发生在初始时刻，称初始层。令 $\tau =t/\epsilon$，则

在这个快时间里，过渡轮廓始终是 $1-e^{-\tau }$。原来随参数挤到原点附近的变化，被放大到大小固定的画面中。

若希望遗漏的指数项不超过容差 $0<\eta <1$，需要

“层的特征尺度为 $\epsilon$”与“达到 $O(\epsilon )$ 精度需要 $\epsilon \log \left(1/\epsilon \right)$ 时间”并不矛盾：后者把容差也随参数收紧了。

一个方程的不同支路可以表现不同 ​

代数方程

有两根。趋近 1 的根可写成

另一根满足 $x_{-}(\epsilon )=-1/\epsilon -x_{+}(\epsilon )$，因而逃向负无穷。把 $\epsilon$ 设为零，只留下 $x=1$。针对有限根的正则展开理路正则摄动展开Regular perturbation expansion固定观察区间与误差范数，逐阶求解小参数方程，并把有限截断残差转成真实解的误差界。可用，针对全部两根则需要另一个尺度，例如 $X=\epsilon x$。

反过来，降阶本身也不保证所选解出现可见层。若前面的初值改为 $y(0)=1$，则 $y_{\epsilon }\equiv 1$，所有参数下都与约化解一致。模型结构有退化，特定初值却恰好没有激发快分量。

与刚性计算的关系 ​

初始层方程含有衰减率 $-1/\epsilon$。前向 Euler 为稳定处理这个模态，需要步长 $h<2\epsilon$；即使指数项已经低于容差，这种限制还可能存在。于是奇异摄动模型常带来刚性 ODE理路刚性常微分方程Stiff ordinary differential equation · Stiff ODE · Stiffness刻画快速衰减模态迫使显式方法使用远小于精度需求的步长这一方法相关现象，并说明隐式路线的能力与代价。计算。

不过两者的判断对象不同。本页考察连续模型在参数趋零时如何变化；刚性考察给定方程、区间、容差与数值方法之间的步长矛盾。不含显式小参数的方程也可使某个求解器表现刚性，某个特定解没有初始层也不一定消除显式方法的稳定约束。

如何决定下一步 ​

若失配集中在空间边界，先用边界层理路边界层Boundary layer在靠近边界的收缩区域放大快速变化，通过导数平衡确定层宽，并用衰减方向确定层的位置。的主导平衡寻找放大尺度，再通过匹配渐近展开理路匹配渐近展开Matched asymptotic expansions · Matching asymptotic expansions在内外近似共同有效的重叠区匹配常数，扣除重复部分构造复合解，并单独验证其全区间误差。组合局部与远处的近似。若状态分成快、慢两组，则用快慢系统理路快慢系统Slow-fast system · Fast-slow system用两种时间参数分离慢变量与快变量，构造约化问题和冻结问题，并检查临界集合是否吸引真实轨道。分别写出冻结与约化问题。

不要把“快分量会消失”当作无条件事实。将首例改成 $\epsilon y^{\prime }=y-1$、$y(0)=0$，真解为 $1-e^{t/\epsilon }$，偏差反而爆长。快子系统对约化状态的吸引性，是后续轨道逼近定理必须检查的条件。