Poincaré 渐近展开 | Codeboy's Blog

有时一个无穷级数在每个实际输入上都发散，前几项却能给出精确近似。关键在于我们正在改变哪一个量：渐近展开固定保留项数，让参数走向极限；收敛级数固定参数，让保留项数趋于无穷。两个实验可以得到完全不同的结果。

形式陈述

设 $\phi_0,\phi_1,\ldots$ 是 $x\to\infty$ 时的渐近尺度， $a_0,a_1,\ldots$ 是不依赖 $x$ 的常数。记

f(x)\sim\sum_{k=0}^{\infty}a_k\phi_k(x),

如果对每个固定 $N\ge0$ 都有

f(x)-\sum_{k=0}^{N}a_k\phi_k(x)=o(\phi_N(x)),\qquad x\to\infty.

符号 $\sim$ 后面的无穷和在这里表达一整族有限余项命题，不一定是可以求和的数。对任意精度要求，控制余项所需的参数阈值允许依赖 $N$ 。

因为这个定义对 $N+1$ 也成立，截到第 $N$ 项后的余项还满足 $O(\phi_{N+1})$ 。反过来，若对每个 $N$ 都能证明这样的下一尺度上界，就得到上面的定义。只有有限几项资料时要更小心：知道最后一次余项为 $o(\phi_N)$ ，不能凭空补出尚未定义的下一层。

直觉

对 $x>0$ ，考虑绝对收敛的积分

F(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-xt}}{1+t}\,dt.

从有限几何恒等式出发，对整数 $N\ge1$ ，

\frac1{1+t}=\sum_{k=0}^{N-1}(-t)^k+\frac{(-t)^N}{1+t}.

乘以 $e^{-xt}$ 后逐项积分，只涉及有限个求和项，因此没有交换无穷和与积分的问题。换元 $u=xt$ ，并对 $\int_0^\infty e^{-u}u^kdu$ 分部积分，得到 $k!$ ，从而

F(x)=\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(-1)^k k!}{x^{k+1}}+R_N(x), \qquad R_N(x)=(-1)^N\int_0^\infty\frac{e^{-xt}t^N}{1+t}\,dt.

由于 $1/(1+t)\le1$ ，

|R_N(x)|\le\frac{N!}{x^{N+1}}.

对固定 $N$ ，右端除以最后保留的尺度 $x^{-N}$ 后趋零。所以

F(x)\sim\frac1x-\frac1{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\frac{3!}{x^4}+\cdots.

另一方面，固定 $x$ 后，相邻项绝对值的比为 $(k+1)/x$ ，最终大于 1；项本身甚至不趋零，级数必然发散。这并不推翻任何一个固定 $N$ 的余项界。实际求值该停在哪里，由最小项截断进一步处理。

例子与边界

如果两个展开在同一尺度上的系数第一次于编号 $m$ 不同，相减便得到

(a_m-b_m)\phi_m(x)=o(\phi_m(x)).

除以最终非零的 $\phi_m$ ，常数 $a_m-b_m$ 必须为零，矛盾。因此所有系数唯一。也可以依次使用

a_m=\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-\sum_{k<m}a_k\phi_k(x)}{\phi_m(x)}

提取系数；这个极限存在是展开性质的一部分。

系数唯一不等于函数唯一。若 $f$ 具有关于 $x^{-1}$ 的展开，则 $f+e^{-x}$ 具有完全相同的展开，因为指数项比任何固定负幂都小。特别地，零函数和 $e^{-x}$ 的全部幂次系数都是零。需要恢复这些微小差别时，必须增加边界条件、解析条件或更细的展开信息。

有限阶展开可以相加；对于标准幂尺度，也可以先把两边截到所需阶数再相乘，把各个有限余项逐项控制。例如

f=1+2/x+O(x^{-2}),\qquad g=3-1/x+O(x^{-2})

给出 $fg=3+5/x+O(x^{-2})$ 。若 $g$ 的首项是非零常数，还可递推倒数展开。若首项为零，就应先提取真正的主尺度，不能直接除。

求导需要额外条件。令

r(x)=e^{-x}\sin(e^{2x}).

它比每个 $x^{-m}$ 都小，因而具有全零的幂次展开；但

r'(x)=-e^{-x}\sin(e^{2x})+2e^x\cos(e^{2x})

沿某些序列增长。把全零展开逐项求导会给出错误结论。问题在于函数值很小并没有控制振荡频率，也没有控制导数余项。

积分同样要说明区域。把局部展开直接积分到无穷远，可能把原来很小的余项积成无界量。Watson 引理通过指数权重和明确的尾部控制，给出一种合法的逐项积分机制。

推论与应用

对上面的 $F$ ，取 $x=8$ 和三项，得到

S_3=\frac18-\frac1{64}+\frac2{512}=0.11328125, \qquad |F(8)-S_3|\le\frac6{8^4}=0.00146484375.

余项符号为负，还可确定 $F(8)\le S_3$ 。这是已经适用于一个固定输入的证书，比“ $x$ 很大时近似不错”更具体。

迁移到新问题时，先写清参数方向和尺度，再证明一个带常数的有限余项式。若只有拟合曲线或几组漂亮数字，可以提出展开猜想，但不能把数值吻合当作全部阶数的证明。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §2.1(iii) Asymptotic Expansions 及 §2.1(ii) Integration and Differentiation，定义、唯一性及运算条件。
F. W. J. Olver, Asymptotics and Special Functions, A K Peters, 1997 reprint, Chapter 1。
John K. Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory, §2.2.1–2.2.3，固定阶数的渐近近似与发散展开。