渐近尺度

幂次只是最熟悉的一种尺度 ​

$1,x^{-1},x^{-2},\dots$ 是尺度，相邻比值都是 $1/x$。若研究 $\epsilon \to 0^{+}$，同一件事写成 $1,\epsilon ,{\epsilon }^2,\dots$；换元 $x=1/\epsilon$ 把两个记法连接起来。

有些问题需要更细的单位。对于 $x>1$，

也构成尺度：三个相邻比值分别是 $\log x/x$、$1/\log x$、$1/x$，全部趋零。因此 $4+3(\log x)/x-2/x$ 的第二项不能藏进“常数乘 $1/x$”中。忽略对数层会让提取第二个系数的极限发散。

指数层还能排在任何固定幂次后面：对每个固定 $m$，$x^m{e}^{-x}\to 0$。不过普通序列 $1,x^{-1},x^{-2},\dots$ 已占用了所有有限编号，不能说在某个“最后的幂次项”后面接上 $e^{-x}$。若只需要有限精度，可以明确使用 $1,x^{-1},x^{-2},e^{-x}$ 这样的有限尺度；若要组织全部幂次和指数层，需要更丰富的展开语言。

两种常见的失败 ​

列表 $1,x^{-1},2x^{-1},x^{-2}$ 不是尺度，因为中间两项的比值恒为 2。它们只是同一测量单位的不同倍数。若把两者都保留，$a/x+b(2/x)$ 的两个系数就不能唯一识别，只能识别 $a+2b$。

列表 $1,x^{-1}(2+\sin x),x^{-1}$ 也不是尺度。第三项除以第二项等于 $1/(2+\sin x)$，始终在 $1/3$ 与 1 之间。振幅被夹住可以证明同阶，却不能证明严格分层。渐近记号理路渐近记号Asymptotic notation · Big O notation忽略常数和低阶项，比较函数在输入趋于无穷时的增长速度。中的 $\mathrm{\Theta }$ 与这里所需的 $o$ 承担不同任务。

尺度还必须写明趋近区域。$1,\epsilon /x$ 对每个固定 $x>0$ 都是 $\epsilon \to 0^{+}$ 时的尺度；若允许同时取 $x=\epsilon$，第二项恒为 1，分离便消失。在含空间位置的近似中，这正是检查边界附近是否需要重新缩放的第一步。

尺度怎样帮助读出系数 ​

设已经选定尺度，并猜测

先除以 ${\varphi }_0$，后两项相对于它都趋零，所以 $a_0=limf/{\varphi }_0$。再减去 $a_0{\varphi }_0$ 并除以 ${\varphi }_1$，得到

例如 $f(x)=\sqrt{x^2+x}$，先提出 $x$，再用平方根在 1 附近的有限 Taylor 展开理路泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。，得到

合适的前三层是 $x,1,x^{-1}$。依次计算 $f/x$、$f-x$、$x(f-x-1/2)$ 的极限，便读出 $1,1/2,-1/8$。直接在计算机上用很大的 $x$ 做后两个减法会发生相消；定义中的极限并不保证朴素浮点求值稳定。

从尺度走向展开 ​

尺度只提供一列单位，不保证任意函数都能按它展开。对尺度 $1,x^{-1},\dots$，函数 $\sin x$ 的首系数极限就不存在。Poincaré 渐近展开理路Poincaré 渐近展开Poincaré asymptotic expansion · Poincare asymptotic expansion · 渐近级数对每个固定的有限截断控制余项，而不要求把全部项在某个固定参数处相加收敛。进一步要求每个有限截断后的余项小于最后保留的尺度，并据此证明系数唯一。

自测时可以给 $x\to \mathrm{\infty }$ 下的 $\log x,1,x^{-1/2},x^{-1}$ 排序，并逐一写出相邻比值。若改把 $x^{-1/2}$ 换成 $x^{-1}(2+\sin x)$，最后两项还满足定义吗？不满足；它们的比值没有趋零。检查比值比凭外形判断更可靠。