最小项截断

为什么会先改善再变差 ​

相邻上界的比值为

只要 $N+1<x$，继续增加项数就降低这个上界；一旦 $N+1>x$，上界开始升高。若 $x$ 不是整数，最小值出现在 $N=\lfloor x\rfloor$；若 $x=m$ 为正整数，$N=m-1,m$ 给出相同最小上界。这里允许 $S_0=0$，所以 $0<x<1$ 时最优上界可能由零项得到，也意味着该展开在此区间不适合高精度计算。

在 x=8 时，多算八项会怎样 ​

直接高精度积分给出 $F(8)\approx 0.1122796392534993$。下面每个上界都由上式严格导出，小数参考值只用来观察实际误差。

从 3 项增加到 8 项有效；继续到 16 项反而明显变差。选 $N=8$ 优化的是已证明的上界，这个逻辑本身并不保证在每个问题上同时精确最小化真实误差。

利用余项符号，还能给出包围区间。因为 $S_8\le F\le S_7$，

这些端点都是有限二进制分数，能按整数运算精确复核。对一般输入则应使用有向舍入或区间算术理路验证数值计算与区间算术Verified numerics · Validated numerics · Interval arithmetic用向外舍入的区间运算构造包含真实结果的可检查外包络，并分辨可靠包含与界的紧致程度。，不能把未经控制的浮点末位称为严格端点。

为什么这一经验不能无条件推广 ​

Poincaré 定义允许余项常数依赖截断阶数。知道对每个固定 $N$，$R_N(x)=O(x^{-N-1})$，并不足以把 $N=\lfloor x\rfloor$ 代进去。上面的积分式对所有 $x>0,N\ge 0$ 同时成立，才允许共同选择参数和项数。

再考虑 $G(x)=F(x)+C{e}^{-x}$。它与 $F$ 具有完全相同的幂次渐近展开，但最优截断处的真实误差额外含有 $C{e}^{-x}$。仅看系数无法知道 $C$，也不能沿用 $F$ 的严格包围区间。因此“最小项给出误差尺度”需要函数本身的余项分析，超越所有幂次的信息可能与最优截断误差同量级。

不用反复算阶乘的实现 ​

设当前项 $t_k=(-1{)}^{k}k!/x^{k+1}$，用递推

即可生成。每轮开始时维持不变量：累加器保存 $S_k$，当前项保存 $t_k$，已证明的余项界是 $|t_k|$。若这份界已满足绝对误差容限，就可以返回；否则比较下一项的模长，在上界不再下降时停止并报告所达到的界。

保留 $N$ 项需要 $O(N)$ 次标量运算和 $O(1)$ 个工作数，若要画诊断曲线或输出全部中间值，则需额外 $O(N)$ 存储。这个计数采用固定精度算术模型；高精度乘除的位成本仍需另算。迭代过程还应检查上溢、下溢和非有限值。

数学截断界只覆盖 $F-S_N$。若计算出的 ${\hat{S}}_N$ 有舍入误差界 $E_N$，总证书应为

当目标是相对误差理路误差度量：绝对、相对与分量误差Error measures · Absolute and relative error用绝对、相对、范数型与逐分量尺度准确说明近似量偏离真值的程度。时，还需要 $F$ 的非零下界。例如有严格包围 $0<L\le F\le U$，才可把绝对误差界除以 $L$。相邻两次近似相近并不能代替这样的分母保证。

本页的下载脚本同时输出 $N=0,\dots ,20$ 的数值误差和可证明上界，并验证偶数/奇数部分和的包围方向。它把数值观察与严格代数依据分开保存：大参数积分复算脚本。