Watson 引理 | Codeboy's Blog

在积分 $\int_0^\infty e^{-xt}q(t)\,dt$ 中增大 $x$ ，会把远离零点的部分迅速压低。主要贡献来自 $t$ 约为 $1/x$ 的窄带。Watson 引理把这幅图像变成定理：如果尾部确实受控，只需知道 $q$ 在零点附近怎样展开，就能读出整个积分的各阶主项。

形式陈述

本页采用 Lebesgue 积分，允许振幅可测且在端点有可积奇性。取 $\alpha>0$ 、 $\beta>0$ ，设 $q$ 可测，并存在实数 $\sigma$ ，使

\int_0^\infty e^{-\sigma t}|q(t)|\,dt<\infty.

这个条件保证 $x\ge\sigma$ 时积分绝对收敛，也为远端提供统一控制。假设对某个固定整数 $N\ge1$ ，在 $t\to0^+$ 时有

q(t)=\sum_{k=0}^{N-1}a_k t^{\alpha+k\beta-1} +O(t^{\alpha+N\beta-1}).

则当 $x\to+\infty$ ，

\int_0^\infty e^{-xt}q(t)\,dt =\sum_{k=0}^{N-1} \frac{a_k\Gamma(\alpha+k\beta)}{x^{\alpha+k\beta}} +O(x^{-\alpha-N\beta}).

这里对 $s>0$ 定义

\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-u}u^{s-1}\,du.

零附近的可积性要求 $s>0$ ；远处由指数衰减保证收敛。分部积分给出 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ ，所以 $\Gamma(n+1)=n!$ ；Gaussian 积分还给出 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ 。这些性质已经足够完成本页计算。

若振幅的局部展开对每个 $N$ 都成立，就得到相应的完整渐近展开。定理不要求局部无穷级数在任何固定 $t>0$ 收敛。

直觉

选一个固定的小数 $\delta>0$ ，把积分分为 $[0,\delta]$ 和 $[\delta,\infty)$ 。对 $x\ge\sigma$ ，远端有

\int_\delta^\infty e^{-xt}|q(t)|\,dt \le e^{-(x-\sigma)\delta} \int_\delta^\infty e^{-\sigma t}|q(t)|\,dt.

右侧是固定常数乘指数小量，比每个固定的 $x^{-m}$ 都小。这一步使“端点决定积分”有了可检查的依据；只画出指数函数下降很快，还没有控制可能增长更快的 $q$ 。

在近端，局部余项满足 $|r_N(t)|\le C_N t^{\alpha+N\beta-1}$ ，因此

\left|\int_0^\delta e^{-xt}r_N(t)\,dt\right| \le C_N\int_0^\infty e^{-xt}t^{\alpha+N\beta-1}\,dt =\frac{C_N\Gamma(\alpha+N\beta)}{x^{\alpha+N\beta}}.

最后把每个幂次项的积分从 $\delta$ 延到无穷，新增的有限多个尾部也都指数小。换元 $u=xt$ 后，每一项恰好产生 Gamma 常数。证明只积分有限和，再估计余项，并没有把一个未知是否收敛的级数直接交换到积分号外。

例子与边界

考虑

J(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-xt}}{\sqrt t(1+t)}\,dt.

原点处的 $t^{-1/2}$ 可积。展开

\frac{t^{-1/2}}{1+t} =t^{-1/2}-t^{1/2}+t^{3/2}+O(t^{5/2}),

于是取 $\alpha=1/2,\beta=1$ ，得到

J(x)=\sqrt\pi\,x^{-1/2} -\frac{\sqrt\pi}{2}x^{-3/2} +\frac{3\sqrt\pi}{4}x^{-5/2} +O(x^{-7/2}).

这个例子说明首幂 $x^{-1/2}$ 来自振幅的可积奇性，不一定来自相位的二次驻点。判断机制时应同时检查指数相位和振幅。

事实上，有限几何恒等式还给出全局界：截取这三项时，余项绝对值不超过 $\Gamma(7/2)x^{-7/2}=15\sqrt\pi/(8x^{7/2})$ ，且符号为负。取 $x=16$ ，可直接代数计算近似值与上界，不需先进行数值积分来猜测精度。

若 $q(t)=1/t$ ，原点不可积， $\alpha>0$ 失败，原积分不存在。若 $q(t)=e^{t^2}$ ，无论多大的固定 $x$ 都压不住无穷远，尾部条件失败。两个反例分别来自积分的两端。

即使有全部代数阶展开，也可能漏掉指数小量。若 $q$ 在 $[0,1)$ 恒为零，在 $[1,2]$ 为 1，则所有零点展开系数都为零，而积分恰好是 $(e^{-x}-e^{-2x})/x$ 。定理正确地说它比每个固定负幂都小，并未说它等于零。

把 $e^{-xt}$ 改为 $e^{ixt}$ 后，模长不再衰减，远端估计失效。振荡情形需要分部积分的抵消控制或驻相法，不能只把本公式中的 $x$ 换成 $-ix$ 而不检查积分和边界。

推论与应用

若 $q$ 在零附近足够光滑，Taylor 展开为 $q(t)=\sum_{k<N}q^{(k)}(0)t^k/k!+O(t^N)$ 。取 $\alpha=\beta=1$ ，Gamma 因子 $\Gamma(k+1)=k!$ 恰好抵消 Taylor 分母，得到

\int_0^\infty e^{-xt}q(t)\,dt =\frac{q(0)}x+\frac{q'(0)}{x^2}+\cdots+ \frac{q^{(N-1)}(0)}{x^N}+O(x^{-N-1}).

例如 $q(t)=1/(1+t)$ 的第 $k$ 阶零点导数是 $(-1)^k k!$ ，就回到前页的发散展开。把输出系数再除一次 $k!$ ，是使用公式时常见的归一化错误。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §2.3(ii), equations 2.3.7–2.3.8，Watson 引理的一般幂次形式。
F. W. J. Olver, Asymptotics and Special Functions, A K Peters, 1997 reprint, pp. 71–72，局部余项与尾部估计。
Roderick Wong, Asymptotic Approximations of Integrals, Academic Press, 1989, Chapter II，Laplace 型积分的端点展开。